Какое уравнение плоскости можно найти, зная координаты точек: A(1;0;0), B(0;1;0) и C(0;0;1)?

Математика 11 класс Уравнения плоскости в пространстве уравнение плоскости координаты точек A(1;0;0) B(0;1;0) C(0;0;1) математика 11 класс Новый

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три точки, нам нужно выполнить несколько шагов. В нашем случае это точки A(1;0;0), B(0;1;0) и C(0;0;1).

Шаг 1: Найдем векторы, лежащие в плоскости.

• Вектор AB = B - A = (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)
• Вектор AC = C - A = (0 - 1; 0 - 0; 1 - 0) = (-1; 0; 1)

Шаг 2: Найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение векторов AB и AC.

Векторное произведение двух векторов в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

• n = AB × AC = |i j k|
• | -1 1 0|
• | -1 0 1|

Теперь вычислим определитель:

1. i(1*1 - 0*0) - j(-1*1 - 0*(-1)) + k(-1*0 - (-1)*1)
2. = i(1) - j(-1) + k(1)
3. = i + j + k

Таким образом, нормальный вектор n = (1; 1; 1).

Шаг 3: Запишем уравнение плоскости.

Уравнение плоскости имеет вид:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,

где (A; B; C) - координаты нормального вектора, а (x0; y0; z0) - координаты одной из точек, через которую проходит плоскость. Мы можем взять, например, точку A(1; 0; 0).

Подставим значения:

1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0.

Раскроем скобки:

x - 1 + y + z = 0.

Перепишем уравнение:

x + y + z = 1.

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;0;0), B(0;1;0) и C(0;0;1), имеет вид x + y + z = 1.