Какое значение имеет выражение: 4cos(2x) + 6sin^3(x), если ctg(x) = 2?

Математика 11 класс Тригонометрические функции и их свойства математика 11 класс выражение 4cos(2x) значение выражения ctg(x) = 2 sin^3(x) тригонометрические функции Новый

Чтобы найти значение выражения 4cos(2x) + 6sin^3(x) при условии, что ctg(x) = 2, давайте сначала вспомним, что ctg(x) это отношение cos(x) к sin(x).

Из условия ctg(x) = 2 следует, что:

• cos(x) = 2sin(x)

Теперь мы можем выразить sin(x) через cos(x). Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Подставим cos(x) = 2sin(x) в это уравнение:

• sin^2(x) + (2sin(x))^2 = 1
• sin^2(x) + 4sin^2(x) = 1
• 5sin^2(x) = 1
• sin^2(x) = 1/5
• sin(x) = ±√(1/5) = ±1/√5

Теперь найдем cos(x):

• cos(x) = 2sin(x) = 2(±1/√5) = ±2/√5

Теперь мы можем найти cos(2x), используя формулу:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Сначала найдем cos^2(x) и sin^2(x):

• cos^2(x) = (2/√5)^2 = 4/5
• sin^2(x) = (1/√5)^2 = 1/5

Теперь подставим эти значения в формулу:

• cos(2x) = 4/5 - 1/5 = 3/5

Теперь мы можем подставить значения cos(2x) и sin(x) в исходное выражение:

• 4cos(2x) = 4*(3/5) = 12/5
• 6sin^3(x) = 6*(1/√5)^3 = 6*(1/5√5) = 6/5√5

Теперь сложим оба значения:

Итак, выражение 4cos(2x) + 6sin^3(x) будет равно:

• 12/5 + 6/5√5

Это и есть окончательный ответ. Если нужно, можно привести к общему знаменателю, но основное значение выражения уже найдено.