Каков интеграл выражения dx/(sin2x)?

Математика 11 класс Интегрирование интеграл математика 11 класс dx sin2x вычисление интегралов неопределенный интеграл Новый

Чтобы найти интеграл выражения dx/(sin(2x)), мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими преобразованиями и свойствами интегралов.

Для начала, вспомним, что sin(2x) можно выразить через двойное угловое тождество:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Таким образом, мы можем переписать наш интеграл:

∫ dx/(sin(2x)) = ∫ dx/(2sin(x)cos(x))

Теперь мы можем вынести константу 1/2 за знак интеграла:

∫ dx/(2sin(x)cos(x)) = (1/2) ∫ dx/(sin(x)cos(x))

Далее, мы можем воспользоваться заменой переменной. Заметим, что sin(x)cos(x) можно выразить через tan(x):

• sin(x)cos(x) = (1/2)sin(2x).

Следовательно, мы можем использовать замену переменной:

u = tan(x), du = sec^2(x)dx = (1/cos^2(x))dx.

Таким образом, dx можем выразить через du:

dx = cos^2(x)du.

Теперь подставим это в наш интеграл:

(1/2) ∫ (cos^2(x) du)/(sin(x)cos(x))

После подстановки и упрощения мы получаем:

(1/2) ∫ (cos^2(x)/(sin(x)cos(x))) du = (1/2) ∫ (cos(x)/sin(x)) du = (1/2) ∫ cot(x) du.

Интеграл от cot(x) равен ln|sin(x)|, поэтому:

∫ cot(x) du = ln|sin(x)| + C.

Теперь подставим обратно и упростим наш ответ:

∫ dx/(sin(2x)) = (1/2) ln|sin(2x)| + C.

Таким образом, окончательный ответ будет:

∫ dx/(sin(2x)) = (1/2) ln|sin(2x)| + C.