Похожие вопросы
2025-03-26 07:40:03
Каков интеграл выражения dx/(sin2x)?
Математика 11 класс Интегрирование интеграл математика 11 класс dx sin2x вычисление интегралов неопределенный интеграл
2025-03-26 07:40:22
Чтобы найти интеграл выражения dx/(sin(2x)), мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими преобразованиями и свойствами интегралов.
Для начала, вспомним, что sin(2x) можно выразить через двойное угловое тождество:
- sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
Таким образом, мы можем переписать наш интеграл:
∫ dx/(sin(2x)) = ∫ dx/(2sin(x)cos(x))
Теперь мы можем вынести константу 1/2 за знак интеграла:
∫ dx/(2sin(x)cos(x)) = (1/2) ∫ dx/(sin(x)cos(x))
Далее, мы можем воспользоваться заменой переменной. Заметим, что sin(x)cos(x) можно выразить через tan(x):
- sin(x)cos(x) = (1/2)sin(2x).
Следовательно, мы можем использовать замену переменной:
u = tan(x), du = sec^2(x)dx = (1/cos^2(x))dx.
Таким образом, dx можем выразить через du:
dx = cos^2(x)du.
Теперь подставим это в наш интеграл:
(1/2) ∫ (cos^2(x) du)/(sin(x)cos(x))
После подстановки и упрощения мы получаем:
(1/2) ∫ (cos^2(x)/(sin(x)cos(x))) du = (1/2) ∫ (cos(x)/sin(x)) du = (1/2) ∫ cot(x) du.
Интеграл от cot(x) равен ln|sin(x)|, поэтому:
∫ cot(x) du = ln|sin(x)| + C.
Теперь подставим обратно и упростим наш ответ:
∫ dx/(sin(2x)) = (1/2) ln|sin(2x)| + C.
Таким образом, окончательный ответ будет:
∫ dx/(sin(2x)) = (1/2) ln|sin(2x)| + C.
