Для нахождения объема фигуры, образованной при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, мы можем использовать формулу для объема конуса. В данном случае, мы будем вращать прямоугольный треугольник вокруг катета, который равен 12 м.

Шаг 1: Определим размеры треугольника.

• Гипотенуза (c) = 15 м
• Первый катет (a) = 12 м
• Второй катет (b) нужно найти по теореме Пифагора: a² + b² = c².

Подставим известные значения:

12² + b² = 15²

144 + b² = 225

b² = 225 - 144

b² = 81

b = 9 м

Шаг 2: Теперь у нас есть размеры треугольника:

• Первый катет (a) = 12 м
• Второй катет (b) = 9 м

Шаг 3: Объем фигуры, образованной вращением, можно найти по формуле объема конуса:

V = (1/3) * π * r² * h,

где r - радиус основания (в данном случае равен 9 м),h - высота (в данном случае равна 12 м).

Шаг 4: Подставим значения в формулу:

V = (1/3) * π * 9² * 12

V = (1/3) * π * 81 * 12

V = (1/3) * π * 972

V = 324π

Шаг 5: Окончательный ответ:

Объем фигуры, образованной при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета 12 м, равен 324π м³. Если необходимо получить численное значение, то можно подставить значение π ≈ 3.14, и тогда:

V ≈ 324 * 3.14 ≈ 1017.36 м³.

Таким образом, объем фигуры составляет примерно 1017.36 м³.