Какова область определения функции f(x) = log5((5x - x^2)/(x + 8))?

Математика 11 класс Область определения функции область определения функции логарифмическая функция математика 11 класс f(x) = log5 решение уравнения анализ функции функции с логарифмом Новый

Чтобы найти область определения функции f(x) = log5((5x - x^2)/(x + 8)), нам нужно учитывать несколько условий, которые должны выполняться для логарифмической функции.

1. Логарифм определен только для положительных значений:

Сначала мы должны убедиться, что аргумент логарифма (в данном случае (5x - x^2)/(x + 8)) больше нуля:

(5x - x^2)/(x + 8) > 0

2. Неравенство дроби:

Дробь (5x - x^2)/(x + 8) будет положительной, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Рассмотрим оба случая:

• Числитель (5x - x^2) > 0:
  1. Решим неравенство 5x - x^2 > 0.
  2. Перепишем его как -x^2 + 5x > 0 или x(5 - x) > 0.
  3. Корни уравнения x(5 - x) = 0: x = 0 и x = 5.
  4. Проверим знаки на интервалах: (-∞, 0), (0, 5), (5, +∞).
  5. На интервале (0, 5) функция положительна.
• Знаменатель (x + 8) > 0:
  1. Решим неравенство x + 8 > 0.
  2. Получаем x > -8.

3. Объединение условий:

Теперь нам нужно объединить условия:

• Числитель положителен на интервале (0, 5).
• Знаменатель положителен при x > -8.

Таким образом, чтобы значение дроби было положительным, необходимо, чтобы x находился в интервале (0, 5) и при этом x должен быть больше -8. Так как интервал (0, 5) уже удовлетворяет этому условию, то область определения функции будет:

Ответ:

Область определения функции f(x) = log5((5x - x^2)/(x + 8)) - это интервал (0, 5).