Какова область определения функции f(x)=√(x^2-2x-8)?

Математика 11 класс Область определения функции область определения функции f(x)=√(x^2-2x-8) математика 11 класс Новый

Чтобы найти область определения функции f(x) = √(x² - 2x - 8), нам нужно определить, при каких значениях x подкоренное выражение (x² - 2x - 8) неотрицательно, так как квадратный корень определен только для неотрицательных чисел.

Для этого мы сначала решим неравенство:

1. Запишем неравенство: x² - 2x - 8 ≥ 0.
2. Решим уравнение x² - 2x - 8 = 0, чтобы найти корни. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -8.

Подставляем значения:

1. b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.
2. Теперь находим корни:

x = (2 ± √36) / 2 = (2 ± 6) / 2.

1. Первый корень: x₁ = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4.
2. Второй корень: x₂ = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2.

Теперь у нас есть два корня: x₁ = 4 и x₂ = -2. Эти корни делят числовую ось на три интервала:

• (-∞, -2)
• (-2, 4)
• (4, +∞)

Теперь проверим знак выражения x² - 2x - 8 на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, -2): выберем, например, x = -3. Подставляем в выражение:

(-3)² - 2*(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 (положительное).

2. Для интервала (-2, 4): выберем x = 0:

0² - 2*0 - 8 = -8 (отрицательное).

3. Для интервала (4, +∞): выберем x = 5:

5² - 2*5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 (положительное).

Таким образом, мы определили знаки на интервалах:

• (-∞, -2) - положительное;
• (-2, 4) - отрицательное;
• (4, +∞) - положительное.

Теперь нам нужно учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому область определения функции будет включать те интервалы, где выражение положительно, а также точки, где оно равно нулю (корни):

Таким образом, область определения функции f(x) = √(x² - 2x - 8) будет:

[-2, -2] ∪ [4, +∞)