Какова площадь фигуры, ограниченной кривой y = −x2 + 4x — 3 и осью x (y = 0)?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной графиками функций площадь фигуры кривая ось X y = −x2 + 4x — 3 математика 11 класс Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = -x² + 4x - 3 и осью x (y = 0), нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения кривой с осью x.

   Для этого необходимо решить уравнение:

   -x² + 4x - 3 = 0

   Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

   • Коэффициенты: a = -1, b = 4, c = -3.
   • Дискриминант D = b² - 4ac = 4² - 4 * (-1) * (-3) = 16 - 12 = 4.

   Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:

   x1 = ( -b + √D ) / (2a) = ( -4 + 2 ) / (-2) = 1

   x2 = ( -b - √D ) / (2a) = ( -4 - 2 ) / (-2) = 3

   Таким образом, точки пересечения с осью x: x = 1 и x = 3.

2. Найти площадь фигуры.

   Площадь, ограниченная кривой и осью x, может быть найдена с помощью определенного интеграла:

   Площадь S = ∫[1, 3] (-x² + 4x - 3) dx

   Теперь вычислим интеграл:

   • Интеграл от -x² = -x³/3
   • Интеграл от 4x = 4x²/2 = 2x²
   • Интеграл от -3 = -3x

   Таким образом, получаем:

   ∫(-x² + 4x - 3) dx = -x³/3 + 2x² - 3x

   Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 3:

   • F(3) = -3³/3 + 2*3² - 3*3 = -27/3 + 18 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0
   • F(1) = -1³/3 + 2*1² - 3*1 = -1/3 + 2 - 3 = -1/3 - 1 = -4/3

   Теперь вычисляем площадь:

   S = F(3) - F(1) = 0 - (-4/3) = 4/3.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривой y = -x² + 4x - 3 и осью x, равна 4/3.