Какова площадь фигуры, ограниченной линиями x=1, x=2, y=0 и y=x^2+1?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры ограниченные линии математика 11 класс интегралы графики функций x=1 x=2 y=0 y=x^2+1 Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями x=1, x=2, y=0 и y=x^2+1, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдём точки пересечения.

   Функция y=x^2+1 - это парабола, открытая вверх, а линия y=0 - это ось абсцисс. Мы ищем, где парабола пересекает ось абсцисс:

   Решим уравнение:

   x^2 + 1 = 0

   Это уравнение не имеет действительных корней, так как x^2 не может быть отрицательным. Следовательно, парабола находится выше оси абсцисс для всех x.

2. Определим границы интегрирования.

   Границы интегрирования у нас уже заданы: x=1 и x=2.

3. Запишем интеграл для нахождения площади.

   Площадь фигуры будет равна интегралу от функции y=x^2+1 от x=1 до x=2:

   Площадь = ∫(x^2 + 1) dx от 1 до 2.

4. Вычислим интеграл.

   Сначала найдем неопределенный интеграл:

   ∫(x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x + C.

   Теперь подставим пределы интегрирования:

   Площадь = [(1/3)(2^3) + 2] - [(1/3)(1^3) + 1].

   Теперь вычислим каждую часть:

   • (1/3)(2^3) + 2 = (1/3)(8) + 2 = 8/3 + 6/3 = 14/3.
   • (1/3)(1^3) + 1 = (1/3)(1) + 1 = 1/3 + 3/3 = 4/3.

   Теперь найдем разность:

   Площадь = (14/3) - (4/3) = 10/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 10/3 квадратных единиц.