Какова сумма целых решений неравенства 2 в степени (3x + 4) минус 10 умножить на 4 в степени x плюс 2 в степени x меньше или равно нулю?

Математика 11 класс Неравенства с показательной функцией сумма целых решений неравенство математика 11 класс 2 в степени 4 в степени решения неравенства Новый

Давайте решим неравенство: 2^(3x + 4) - 10 * 4^x + 2^x <= 0.

Сначала упростим выражение. Заменим 4^x на (2^2)^x, что равно (2^x)^2. Таким образом, 4^x = (2^x)^2. Обозначим 2^x как t. Тогда у нас получится:

2^(3x + 4) = 2^4 * 2^(3x) = 16 * (2^x)^3 = 16t^3.

Теперь подставим это в неравенство:

16t^3 - 10t^2 + t <= 0.

Теперь упростим это неравенство:

16t^3 - 10t^2 + t <= 0.

Вынесем t за скобки:

t(16t^2 - 10t + 1) <= 0.

Теперь у нас есть произведение t и квадратного трехчлена 16t^2 - 10t + 1. Чтобы найти корни этого квадратного уравнения, воспользуемся дискриминантом:

D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 16 * 1 = 100 - 64 = 36.

Корни уравнения:

t1 = (10 + √36) / (2 * 16) = (10 + 6) / 32 = 16 / 32 = 0.5,

t2 = (10 - √36) / (2 * 16) = (10 - 6) / 32 = 4 / 32 = 0.125.

Теперь у нас есть корни t1 = 0.5 и t2 = 0.125. Мы знаем, что функция 16t^2 - 10t + 1 является параболой, открытой вверх, так как коэффициент при t^2 положителен. Это значит, что она принимает значения меньше или равно нуля между корнями:

0.125 <= t <= 0.5.

Теперь вернемся к нашему обозначению t = 2^x. Получаем:

0.125 <= 2^x <= 0.5.

Теперь преобразуем неравенства:

0.125 = 2^(-3) и 0.5 = 2^(-1), следовательно:

-3 <= x <= -1.

Целые решения этого неравенства: x = -3, -2, -1.

Теперь посчитаем сумму целых решений:

• -3
• -2
• -1

Сумма = -3 + (-2) + (-1) = -6.

Ответ: сумма целых решений неравенства равна -6.