Какова вероятность того, что 7 человек, случайно рассаживаясь на скамейке, не окажутся рядом, если два из них уже определены заранее?

Математика 11 класс Комбинаторика и теория вероятностей вероятность 7 человек случайная рассадка скамейка не рядом два человека определены Новый

Для решения этой задачи начнем с определения общего количества способов рассадить 7 человек на скамейке. Затем найдем количество способов, при которых два определенных человека сидят рядом, и, наконец, вычтем это количество из общего числа способов.

Шаг 1: Общее количество способов рассадки

Когда 7 человек рассаживаются на скамейке, общее количество способов можно найти с помощью факториала:

• Количество способов = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040.

Шаг 2: Количество способов, при которых два определенных человека сидят рядом

Предположим, что два определенных человека, назовем их A и B, должны сидеть рядом. Мы можем рассматривать их как одну группу или "блок". Таким образом, у нас будет 6 "персонажей": блок AB и 5 остальных людей.

Теперь мы можем рассадить эти 6 "персонажей" на скамейке:

• Количество способов рассадки = 6! = 720.

Однако, внутри блока A и B они могут поменяться местами. То есть, для каждого способа рассадки 6 "персонажей" есть 2 способа расположить A и B внутри блока:

• Количество способов для блока AB = 2! = 2.

Таким образом, общее количество способов рассадки, при котором A и B сидят рядом, будет:

• Количество способов = 6! × 2! = 720 × 2 = 1440.

Шаг 3: Количество способов, при которых A и B не сидят рядом

Теперь мы можем найти количество способов, при которых A и B не сидят рядом, вычитая количество способов, при которых они сидят рядом, из общего количества способов:

• Количество способов, при которых A и B не сидят рядом = 7! - (6! × 2!) = 5040 - 1440 = 3600.

Шаг 4: Вероятность того, что A и B не окажутся рядом

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что A и B не окажутся рядом, разделив количество способов, при которых они не рядом, на общее количество способов:

• Вероятность = (Количество способов, при которых A и B не рядом) / (Общее количество способов) = 3600 / 5040.

Упрощая дробь, получаем:

• Вероятность = 3600 / 5040 = 0.7142857142857143 (примерно 0.714).

Ответ: Вероятность того, что 7 человек, случайно рассаживаясь на скамейке, не окажутся рядом, составляет примерно 0.714 или 71.4%.