В учебной группе имеется 9 книг, из которых 6 являются справочниками. Какова вероятность того, что среди 5 случайно выбранных книг будет ровно 3 справочника?

Математика 11 класс Комбинаторика и теория вероятностей Новый

Для решения задачи о вероятности того, что среди 5 случайно выбранных книг будет ровно 3 справочника, необходимо использовать комбинаторный подход. В данной ситуации мы будем использовать формулу для вычисления вероятности.

Шаг 1: Определение необходимых значений

• Общее количество книг (N) = 9
• Количество справочников (K) = 6
• Количество несоответствующих книг (N - K) = 3
• Количество выбираемых книг (n) = 5
• Количество справочников, которые мы хотим выбрать (k) = 3

Шаг 2: Вычисление числа способов выбора

Для нахождения нужной вероятности нам нужно рассчитать количество способов выбрать 3 справочника из 6 и 2 несоответствующих книги из 3.

• Количество способов выбрать 3 справочника из 6: C(6, 3)
• Количество способов выбрать 2 несоответствующих книги из 3: C(3, 2)

Формула для вычисления сочетаний (C(n, k)) выглядит следующим образом:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Теперь подставим значения:

• C(6, 3) = 6! / (3! * (6 - 3)!) = 6! / (3! * 3!) = 20
• C(3, 2) = 3! / (2! * (3 - 2)!) = 3! / (2! * 1!) = 3

Шаг 3: Общее количество способов выбора 5 книг

Общее количество способов выбрать 5 книг из 9: C(9, 5)

• C(9, 5) = 9! / (5! * (9 - 5)!) = 9! / (5! * 4!) = 126

Шаг 4: Вычисление вероятности

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что среди 5 выбранных книг будет ровно 3 справочника:

P(X = 3) = (C(6, 3) * C(3, 2)) / C(9, 5)

P(X = 3) = (20 * 3) / 126

P(X = 3) = 60 / 126

P(X = 3) = 10 / 21

Шаг 5: Итог

Таким образом, вероятность того, что среди 5 случайно выбранных книг будет ровно 3 справочника, составляет 10/21.