В партии из 20 деталей, где 6 из них стандартные, какова вероятность того, что среди 5 случайно выбранных деталей будет 3 стандартных?

Математика 11 класс Комбинаторика и теория вероятностей вероятность стандартные детали комбинаторика выборка математика 11 класс Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для вычисления вероятности, основанной на комбинаторике. Нам нужно найти вероятность того, что среди 5 случайно выбранных деталей будет ровно 3 стандартных. В партии всего 20 деталей, из которых 6 стандартные и 14 нестандартные.

Шаги решения:

1. Определим общее количество способов выбрать 5 деталей из 20. Это можно сделать с помощью сочетаний. Обозначим это количество как C(20, 5). Формула для сочетаний выглядит так:
• C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!),
• где n - общее количество элементов, k - количество выбираемых элементов, а "!" обозначает факториал.
2. Посчитаем C(20, 5):
• C(20, 5) = 20! / (5! * 15!) = (20 * 19 * 18 * 17 * 16) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 15504.
3. Теперь найдем количество способов выбрать 3 стандартные и 2 нестандартные детали. Для этого мы будем использовать сочетания дважды:
• Количество способов выбрать 3 стандартные детали из 6: C(6, 3).
• Количество способов выбрать 2 нестандартные детали из 14: C(14, 2).
4. Посчитаем C(6, 3) и C(14, 2):
• C(6, 3) = 6! / (3! * 3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20.
• C(14, 2) = 14! / (2! * 12!) = (14 * 13) / (2 * 1) = 91.
5. Теперь найдем общее количество способов выбрать 3 стандартные и 2 нестандартные детали:
• Общее количество способов = C(6, 3) * C(14, 2) = 20 * 91 = 1820.
6. Теперь мы можем найти вероятность того, что среди 5 выбранных деталей будет 3 стандартные:
• Вероятность = (Количество способов выбрать 3 стандартные и 2 нестандартные) / (Общее количество способов выбрать 5 деталей) = 1820 / 15504.
7. Упростим дробь:
• 1820 / 15504 ≈ 0.117.

Таким образом, вероятность того, что среди 5 случайно выбранных деталей будет 3 стандартные, составляет примерно 0.117, или 11.7%.