Какова вероятность того, что данное событие произойдет по крайней мере три раза в восемнадцати независимых опытах, если вероятность его появления в каждом опыте составляет 0,2?

Математика 11 класс Вероятность и статистика вероятность событие три раза восемнадцать опытов независимые опыты вероятность появления 0,2 математика 11 класс комбинаторика биномиальное распределение статистика задачи по вероятности Новый

В данной задаче мы рассматриваем ситуацию, в которой мы проводим 18 независимых экспериментов, и вероятность того, что событие произойдет в каждом из этих экспериментов, составляет 0,2. Это типичная задача для применения биномиального распределения.

Чтобы найти вероятность того, что событие произойдет по крайней мере три раза, мы можем использовать следующие шаги:

1. Сначала определим общее количество испытаний (N) и вероятность успеха в каждом испытании (P). В нашем случае N = 18, а P = 0,2.
2. Так как мы ищем вероятность того, что событие произойдет как минимум 3 раза, мы можем рассчитать вероятность того, что событие произойдет 0, 1 или 2 раза, а затем вычтем эту сумму из 1.
3. Теперь найдем вероятности для 0, 1 и 2 успешных исходов, используя биномиальную формулу:

Биномиальная формула имеет вид:

Р(n, k) = C(k, n) * P^k * (1 - P)^(n - k),

где:

• C(k, n) - биномиальный коэффициент, который показывает, сколько способов можно выбрать k успехов из n испытаний;
• P - вероятность успеха;
• (1 - P) - вероятность неуспеха.

Теперь рассчитаем:

1. Для 0 успехов:
• Р₁₈(0) = C(0, 18) * 0,2^0 * 0,8^18 ≈ 0,0180;
2. Для 1 успеха:
• Р₁₈(1) = C(1, 18) * 0,2^1 * 0,8^17 ≈ 0,0811;
3. Для 2 успехов:
• Р₁₈(2) = C(2, 18) * 0,2^2 * 0,8^16 ≈ 0,1723;

Теперь мы можем найти общую вероятность того, что событие произойдет менее чем 3 раза:

Р₁₈(менее 3) = Р₁₈(0) + Р₁₈(1) + Р₁₈(2) ≈ 0,0180 + 0,0811 + 0,1723 ≈ 0,2714.

Следовательно, вероятность того, что событие произойдет по крайней мере 3 раза, будет равна:

Р₁₈(≥3) = 1 - Р₁₈(менее 3) = 1 - 0,2714 ≈ 0,7286.

Таким образом, вероятность того, что данное событие произойдет по крайней мере три раза в восемнадцати независимых опытах, составляет примерно 0,7286 или 72,86%.