Какова вероятность того, что две случайно поставленные точки на отрезке, делящие его на три отрезка, могут образовать треугольник?

Математика 11 класс Вероятность и комбинаторика вероятность две точки отрезок треугольник математика 11 класс Новый

Для решения данной задачи, давайте сначала определим, что мы имеем. Мы рассматриваем отрезок длиной 1 и ставим на нем две случайные точки. Эти точки делят отрезок на три части. Чтобы три отрезка могли образовать треугольник, необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника.

Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. В нашем случае это означает, что:

• Сумма длин двух отрезков должна быть больше длины третьего отрезка.

Обозначим длины отрезков как a, b и c. Тогда необходимо выполнить следующие условия:

• a + b > c
• a + c > b
• b + c > a

Теперь рассмотрим процесс. Пусть точки A и B находятся на отрезке от 0 до 1. Обозначим их координаты как x и y, где 0 < x < y < 1. Длина отрезков будет равна:

• Первый отрезок: x
• Второй отрезок: y - x
• Третий отрезок: 1 - y

Теперь мы можем записать неравенства:

• 1. x + (y - x) > (1 - y) → y > 1/2
• 2. x + (1 - y) > (y - x) → x < 1/2 + y/2
• 3. (y - x) + (1 - y) > x → 1 - x > x → x < 1/2

Теперь нужно проанализировать область, в которой выполняются эти неравенства. Мы имеем квадрат 0 < x < 1 и 0 < y < 1, который делится на две части:

1. Область, где y > 1/2.
2. Область, где x < 1/2.

Теперь давайте определим, каковы границы этих областей:

• Первая область: это область выше прямой y = 1/2.
• Вторая область: это область слева от прямой x = 1/2.

Теперь мы можем найти площадь пересечения этих областей в квадрате. Площадь всего квадрата равна 1. Площадь области, где выполняются условия неравенства, будет равна 1/4, так как это треугольник с основанием и высотой 1/2.

Таким образом, вероятность того, что три отрезка могут образовать треугольник, равна:

Вероятность = Площадь подходящей области / Площадь всего квадрата = 1/4.

Итак, вероятность того, что две случайно поставленные точки на отрезке могут образовать треугольник, равна 1/4 или 25%.