Какова вероятность того, что хотя бы одна из двух тем, подготовленных учеником из семи, будет выбрана на конкурсе, если ему предложат три темы на выбор?

Математика 11 класс Комбинаторика и теория вероятностей вероятность темы конкурс ученик выбор математика комбинаторика события вероятность выбора подготовка тем Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать метод дополнения. Сначала найдем вероятность того, что ни одна из двух подготовленных тем не будет выбрана, а затем вычтем эту вероятность из единицы.

Обозначим:

• n - общее количество тем, подготовленных учеником, n = 7;
• k - количество выбранных тем, k = 3;
• m - количество подготовленных тем, которые нас интересуют, m = 2.

Теперь найдем количество способов выбрать 3 темы из 7:

1. Общее количество способов выбрать 3 темы из 7 равно C(7, 3), где C(n, k) - биномиальный коэффициент, который рассчитывается как:
2. C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где "!" обозначает факториал.

Подставим значения:

• C(7, 3) = 7! / (3! * (7 - 3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35.

Теперь найдем количество способов выбрать 3 темы, не включая ни одну из двух подготовленных:

• Если мы не хотим выбирать ни одну из 2 подготовленных тем, то нам нужно выбрать 3 темы из оставшихся 5 (7 - 2 = 5).
• Количество способов выбрать 3 темы из 5 равно C(5, 3).

Рассчитаем C(5, 3):

• C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10.

Теперь мы можем найти вероятность того, что ни одна из двух подготовленных тем не будет выбрана:

• P(ни одной) = Количество способов выбрать 3 темы из 5 / Общее количество способов выбрать 3 темы из 7 = C(5, 3) / C(7, 3) = 10 / 35 = 2 / 7.

Теперь найдем вероятность того, что хотя бы одна из двух подготовленных тем будет выбрана:

• P(хотя бы одна) = 1 - P(ни одной) = 1 - (2 / 7) = 5 / 7.

Ответ: Вероятность того, что хотя бы одна из двух тем будет выбрана на конкурсе, составляет 5/7.