Какова вероятность того, что квадратный трехчлен x^2 + px + q, где коэффициенты p и q выбраны наудачу из отрезка [-1; 0], имеет действительные корни?

Математика 11 класс Вероятность и статистика вероятность квадратный трехчлен действительные корни коэффициенты p и q отрезок [-1; 0] Новый

Чтобы определить вероятность того, что квадратный трехчлен x^2 + px + q имеет действительные корни, нам нужно воспользоваться условием, при котором квадратный трехчлен имеет действительные корни.

Квадратный трехчлен x^2 + px + q имеет действительные корни, если его дискриминант D неотрицателен. Дискриминант для данного трехчлена определяется по формуле:

• D = p^2 - 4q

Таким образом, для наличия действительных корней должно выполняться неравенство:

• p^2 - 4q ≥ 0

Теперь давайте проанализируем область значений для коэффициентов p и q. Мы знаем, что p и q выбираются случайным образом из отрезка [-1; 0]. Это означает, что:

• -1 ≤ p ≤ 0
• -1 ≤ q ≤ 0

Теперь перепишем наше неравенство с учетом этих ограничений:

• p^2 ≥ 4q

Так как p находится в диапазоне от -1 до 0, p^2 будет находиться в диапазоне от 0 до 1 (так как квадрат любого числа неотрицателен). Следовательно, 4q будет изменяться от -4 до 0, так как q также находится в диапазоне от -1 до 0.

Теперь мы можем определить область, в которой выполняется неравенство p^2 ≥ 4q. Это можно сделать, графически изобразив неравенство на координатной плоскости, где по оси p отложим значения [-1; 0], а по оси q также отложим значения [-1; 0].

Графически неравенство p^2 ≥ 4q будет представлять собой область выше параболы q = (1/4)p^2 в пределах указанного диапазона для p и q.

Теперь нам нужно найти площадь области, где выполняется это неравенство, и поделить ее на общую площадь квадрата, образованного отрезками [-1; 0] по обеим осям.

Общая площадь квадрата:

• 1 * 1 = 1

Теперь найдем площадь области, удовлетворяющей неравенству. Для этого мы можем вычислить площадь, ограниченную параболой и осью q:

• Для p = -1: q = (1/4)(-1)^2 = 1/4 (но q не может быть больше 0, поэтому ограничиваемся 0).
• Для p = 0: q = 0.

Таким образом, парабола будет пересекать ось q в точке (-1, 0) и (0, 0), а также будет находиться выше оси q в пределах отрезка [-1; 0].

В результате, мы можем увидеть, что площадь, удовлетворяющая неравенству, будет равна 1/4 от площади квадрата:

Итак, вероятность того, что квадратный трехчлен имеет действительные корни, равна:

• Вероятность = Площадь области, удовлетворяющей неравенству / Общая площадь = 1/4 / 1 = 1/4.

Таким образом, вероятность того, что квадратный трехчлен x^2 + px + q имеет действительные корни, равна 1/4.