Какова вероятность того, что разность двух различных случайных чисел, выбранных из натуральных чисел от 10 до 99, делится на 3?

Математика 11 класс Вероятность вероятность разность случайные числа натуральные числа делимость на 3 10 до 99 11 класс математика Новый

Для решения этой задачи давайте сначала определим, сколько всего натуральных чисел находится в заданном диапазоне от 10 до 99.

В этом диапазоне находятся числа от 10 до 99, включая оба конца. Чтобы найти количество этих чисел, мы используем формулу:

Количество чисел = Последнее число - Первое число + 1 = 99 - 10 + 1 = 90.

Теперь нам нужно выяснить, сколько из этих чисел при делении на 3 дают одинаковый остаток. Это важно, потому что разность двух чисел делится на 3, если и только если оба числа имеют одинаковый остаток при делении на 3.

Найдем остатки от деления чисел от 10 до 99 на 3:

• Остаток 0: 12, 15, 18, ..., 99. Это арифметическая прогрессия, где первый член 12, последний 99, а разность 3.
• Остаток 1: 10, 13, 16, ..., 97. Это также арифметическая прогрессия, где первый член 10, последний 97, а разность 3.
• Остаток 2: 11, 14, 17, ..., 98. И это арифметическая прогрессия, где первый член 11, последний 98, а разность 3.

Теперь найдем количество членов каждой из этих прогрессий:

1. Для остатка 0:
   • Количество членов = (99 - 12) / 3 + 1 = 30.
2. Для остатка 1:
   • Количество членов = (97 - 10) / 3 + 1 = 30.
3. Для остатка 2:
   • Количество членов = (98 - 11) / 3 + 1 = 30.

Теперь мы знаем, что в каждой категории (остаток 0, 1 и 2) по 30 чисел.

Теперь мы можем найти количество способов выбрать два различных числа с одинаковым остатком:

• Для остатка 0: C(30, 2) = 30 * 29 / 2 = 435.
• Для остатка 1: C(30, 2) = 30 * 29 / 2 = 435.
• Для остатка 2: C(30, 2) = 30 * 29 / 2 = 435.

Теперь суммируем все способы:

Общее количество способов выбрать два числа, разность которых делится на 3: 435 + 435 + 435 = 1305.

Теперь найдем общее количество способов выбрать любые два различных числа из 90:

C(90, 2) = 90 * 89 / 2 = 4005.

Теперь мы можем найти вероятность:

Вероятность = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов) = 1305 / 4005.

Упростим дробь:

1305 и 4005 делятся на 15:

1305 / 15 = 87 и 4005 / 15 = 267.

Таким образом, окончательная вероятность того, что разность двух различных случайных чисел, выбранных из натуральных чисел от 10 до 99, делится на 3, равна:

87 / 267.

Это и есть ответ на задачу!