Какова вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, будет белым, если из первой урны, в которой 12 шаров (7 белых), наудачу переложить один шар во вторую урну, в которой 6 шаров (3 белых)?

Математика 11 класс Вероятность и комбинаторика вероятность шар Урна белый шар математическая задача комбинаторика вероятность события условная вероятность

Для решения этой задачи, давайте разберем все шаги по порядку.

Шаг 1: Определим вероятности извлечения шаров из первой урны.

• В первой урне всего 12 шаров, из которых 7 белых и 5 черных.
• Вероятность того, что мы извлечем белый шар из первой урны: P(белый) = количество белых шаров / общее количество шаров = 7/12.
• Вероятность того, что мы извлечем черный шар из первой урны: P(черный) = количество черных шаров / общее количество шаров = 5/12.

Шаг 2: Определим состав второй урны после переложения шара.

• Во второй урне изначально 6 шаров, из которых 3 белых и 3 черных.
• Теперь рассмотрим два случая в зависимости от того, какой шар был переложен из первой урны.

Случай 1: Переложен белый шар.

• После этого во второй урне будет 4 белых шара и 3 черных шара (всего 7 шаров).
• Вероятность извлечения белого шара из второй урны в этом случае: P(белый|белый) = количество белых шаров / общее количество шаров = 4/7.

Случай 2: Переложен черный шар.

• После этого во второй урне будет 3 белых шара и 4 черных шара (всего 7 шаров).
• Вероятность извлечения белого шара из второй урны в этом случае: P(белый|черный) = количество белых шаров / общее количество шаров = 3/7.

Шаг 3: Найдем общую вероятность извлечения белого шара из второй урны.

• Мы можем использовать формулу полной вероятности: P(белый из второй урны) = P(белый) * P(белый|белый) + P(черный) * P(белый|черный).
• Подставим известные значения:
  • P(белый) = 7/12, P(черный) = 5/12, P(белый|белый) = 4/7, P(белый|черный) = 3/7.
• Теперь подставим в формулу: P(белый из второй урны) = (7/12) * (4/7) + (5/12) * (3/7).
• Упростим:
  • (7/12) * (4/7) = 4/12 = 1/3;
  • (5/12) * (3/7) = 15/84;
• Теперь сложим: P(белый из второй урны) = 1/3 + 15/84.
• Для сложения приведем к общему знаменателю: 1/3 = 28/84.
• Теперь: P(белый из второй урны) = 28/84 + 15/84 = 43/84.

Ответ:

Вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, будет белым, равна 43/84.

Вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, будет белым, равна:

1. Вероятность переложить белый шар из первой урны: 7/12.
2. Вероятность переложить черный шар из первой урны: 5/12.

После переложения шаров во второй урне возможны следующие случаи:

• Если переложен белый шар: 4 белых и 6 шаров всего. Вероятность извлечь белый шар: 4/10.
• Если переложен черный шар: 3 белых и 6 шаров всего. Вероятность извлечь белый шар: 3/10.

Теперь рассчитаем общую вероятность:

Общая вероятность = (7/12 * 4/10) + (5/12 * 3/10) = 28/120 + 15/120 = 43/120.

Ответ: 43/120.