Какова вероятность того, что случайный граф с четырьмя вершинами, где вероятность проведения ребра p=1/3, будет содержать ровно два ребра, которые не имеют общей вершины?

Математика 11 класс Комбинаторная вероятность вероятность случайный граф четыре вершины вероятность ребра p=1/3 два ребра не имеют общей вершины комбинаторика графы математика 11 класс Новый

Чтобы решить данную задачу, давайте разберемся с условиями и определениями.

У нас есть случайный граф с четырьмя вершинами. Мы хотим найти вероятность того, что в этом графе будет ровно два ребра, которые не имеют общей вершины. Это означает, что два выбранных ребра должны соединять разные пары вершин.

Шаги решения:

1. Определим количество возможных ребер: В графе с n вершинами максимальное количество ребер равно C(n, 2), где C(n, k) – число сочетаний из n по k. В нашем случае n = 4, поэтому:
• C(4, 2) = 4! / (2!(4-2)!) = 6.
2. Определим, сколько способов выбрать два ребра: Мы должны выбрать 2 ребра из 6 возможных. Это можно сделать с помощью сочетаний:
• C(6, 2) = 6! / (2!(6-2)!) = 15.
3. Определим, сколько из этих пар ребер не имеют общих вершин: Для того чтобы два ребра не имели общих вершин, они должны соединять 4 разные вершины. Сначала выбираем 4 вершины (в нашем случае это все вершины), а затем выбираем 2 ребра из 4 вершин. Возможные пары вершин:
• 1-2, 3-4
• 1-3, 2-4
• 1-4, 2-3
4. Таким образом, мы имеем 3 пары ребер, которые не имеют общих вершин.
5. Теперь найдем вероятность: Вероятность того, что выбранные два ребра будут существовать в графе, равна p^2, где p = 1/3. Вероятность того, что оставшиеся 4 ребра не будут существовать, равна (1-p)^4.
• p^2 = (1/3)^2 = 1/9.
• (1-p)^4 = (2/3)^4 = 16/81.
6. Теперь мы можем найти общую вероятность: У нас есть 3 благоприятных случая (пары ребер без общих вершин), поэтому общая вероятность будет:
• P = 3 * (1/9) * (16/81) = 48/729.

Таким образом, вероятность того, что случайный граф с четырьмя вершинами, где вероятность проведения ребра p=1/3, будет содержать ровно два ребра, которые не имеют общей вершины, равна 48/729.