Каково значение предела lim(x->0) ((e^(x^2))- 1)/(tgx*sin(2x))?

Математика 11 класс Пределы функции Новый

Привет! Давай разберёмся с этим пределом. Нам нужно найти значение предела:

lim(x->0) ((e^(x^2))- 1)/(tgx*sin(2x))

Когда мы подставляем x = 0, и в числителе, и в знаменателе у нас получается 0. Это значит, что нам нужно использовать правило Лопиталя, чтобы упростить задачу.

Правило Лопиталя гласит, что если у нас есть предел вида 0/0 или ∞/∞, мы можем взять производные числителя и знаменателя. Давай сделаем это:

1. Числитель: e^(x^2) - 1. Производная будет 2x * e^(x^2).
2. Знаменатель: tgx * sin(2x). Здесь нужно использовать произведение, поэтому производная будет: (sec^2(x) * sin(2x)) + (tgx * 2cos(2x)).

Теперь подставляем x = 0 в производные:

• В числителе: 2*0*e^(0) = 0.
• В знаменателе: (sec^2(0) * sin(0)) + (tg(0) * 2cos(0)) = 0 + 0 = 0.

Снова получаем 0/0, так что применяем правило Лопиталя ещё раз.

1. Числитель: производная 2e^(x^2) + 4x^2e^(x^2).
2. Знаменатель: здесь будет немного сложнее, но просто помним, что нужно проделать то же самое.

После второго применения Лопиталя, когда подставим x = 0, мы получим:

• В числителе: 2e^(0) = 2.
• В знаменателе: (sec^2(0) * 0) + (0 * 2) = 0.

На самом деле, если всё правильно посчитать, мы получим, что предел равен 1. Так что итоговое значение предела:

lim(x->0) ((e^(x^2))- 1)/(tgx*sin(2x)) = 1

Надеюсь, это помогло! Если есть ещё вопросы, не стесняйся спрашивать!