Чтобы найти значение выражения 2 arcsin(-√3/2) + arcctg(-1) + arccos(1/√2) + (1/2)arccos(-1), давайте разберем каждую из его частей по отдельности.

1. 2 arcsin(-√3/2)

Значение arcsin(-√3/2) соответствует углу, синус которого равен -√3/2. Это происходит, например, в точке -π/3 (или -60 градусов). Поскольку arcsin принимает значения в диапазоне от -π/2 до π/2, то:

arcsin(-√3/2) = -π/3

Следовательно,:

2 arcsin(-√3/2) = 2 * (-π/3) = -2π/3

2. arcctg(-1)

arcctg(x) – это обратная функция к котангенсу. Значение котангенса равно -1, когда угол равен -π/4 (или -45 градусов). Таким образом:

arcctg(-1) = -π/4

3. arccos(1/√2)

Значение arccos(1/√2) соответствует углу, косинус которого равен 1/√2. Это происходит в точке π/4 (или 45 градусов). Следовательно:

arccos(1/√2) = π/4

4. (1/2)arccos(-1)

Значение arccos(-1) соответствует углу, косинус которого равен -1. Это происходит в точке π (или 180 градусов). Таким образом:

(1/2)arccos(-1) = (1/2) * π = π/2

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

2 arcsin(-√3/2) + arcctg(-1) + arccos(1/√2) + (1/2)arccos(-1) = -2π/3 - π/4 + π/4 + π/2

Теперь упростим это выражение:

• Сложим -π/4 и π/4: -π/4 + π/4 = 0
• Осталось: -2π/3 + π/2

Теперь найдем общий знаменатель для -2π/3 и π/2. Общий знаменатель равен 6:

• -2π/3 = -4π/6
• π/2 = 3π/6

Теперь можем сложить: -4π/6 + 3π/6 = -1π/6.

Итак, окончательный ответ: -π/6.