Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции y = x^3 + 3x^2 - 72x + 90 на отрезке [-5; 5], нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции.

   Сначала мы находим производную функции, чтобы определить критические точки, где производная равна нулю или не существует. Производная функции y будет:

   y' = 3x^2 + 6x - 72

2. Найти критические точки.

   Теперь мы решим уравнение y' = 0:

   3x^2 + 6x - 72 = 0

   Сначала упростим уравнение, разделив его на 3:

   x^2 + 2x - 24 = 0

   Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

   x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 2, c = -24.

   Подставим значения:

   x = (-2 ± √(2^2 - 4 * 1 * (-24))) / (2 * 1)

   x = (-2 ± √(4 + 96)) / 2

   x = (-2 ± √100) / 2

   x = (-2 ± 10) / 2

   Таким образом, мы получаем два значения:

   • x1 = (8) / 2 = 4
   • x2 = (-12) / 2 = -6

   Однако, так как мы ищем значения на отрезке [-5; 5], то критическая точка x = -6 не входит в наш интервал.

3. Проверить значения на границах отрезка и в критической точке.

   Теперь нам нужно подставить найденные значения в исходную функцию:

   • y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 72(-5) + 90 = -125 + 75 + 360 + 90 = 400
   • y(4) = (4)^3 + 3(4)^2 - 72(4) + 90 = 64 + 48 - 288 + 90 = -86
   • y(5) = (5)^3 + 3(5)^2 - 72(5) + 90 = 125 + 75 - 360 + 90 = -70
4. Сравнить значения.

   Теперь мы сравним все полученные значения:

   • y(-5) = 400
   • y(4) = -86
   • y(5) = -70

   Максимальное значение функции на отрезке [-5; 5] равно 400, а минимальное значение равно -86.

Итак, максимальное значение функции на отрезке [-5; 5] равно 400, а минимальное значение равно -86.