Какой объем конуса, если его осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник с углом при основании 30 градусов и основанием 8 дм?

Математика 11 класс Объем конуса объем конуса осевое сечение равнобедренный треугольник угол при основании основание 8 дм математика 11 класс Новый

Чтобы найти объем конуса, нам нужно знать его радиус основания и высоту. Давайте начнем с осевого сечения, которое представляет собой равнобедренный треугольник с углом при основании 30 градусов и основанием 8 дм.

1. **Определим высоту треугольника.**

• Так как треугольник равнобедренный, мы можем провести высоту из вершины угла, которая делит основание на две равные части. Таким образом, каждая часть основания будет равна 4 дм (8 дм / 2).
• Обозначим высоту треугольника как h. В правом треугольнике, который образуется высотой, основанием и половиной основания, мы можем использовать тригонометрические соотношения. Угол при основании равен 30 градусам.
• По определению тангенса угла, мы имеем: tan(30) = h / 4. Известно, что tan(30) = 1/√3.

2. **Решим уравнение для высоты h.**

• Подставим значение: 1/√3 = h / 4.
• Теперь выразим h: h = 4 * (1/√3) = 4/√3.
• Для удобства, можем умножить числитель и знаменатель на √3, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: h = (4√3) / 3.

3. **Найдем радиус основания конуса.**

• Радиус r основания конуса равен половине основания треугольника, то есть r = 4 дм.

4. **Теперь можем найти объем конуса.**

• Формула для объема конуса: V = (1/3) * π * r² * h.
• Подставляем значения: r = 4 дм и h = (4√3) / 3 дм.
• Сначала найдем r²: r² = 4² = 16.
• Теперь подставим в формулу: V = (1/3) * π * 16 * (4√3) / 3.
• Упрощаем: V = (64π√3) / 9.

Таким образом, объем конуса равен (64π√3) / 9 кубических дециметров.