Какой объем конуса, если радиус его основания равен 3 см, а общая площадь поверхности составляет 75,36 см²? Используйте значение π=3,14 для расчетов.

Математика 11 класс Объем конуса объем конуса радиус основания площадь поверхности π=3,14 задачи по математике 11 класс геометрия формулы для конуса Новый

Для нахождения объема конуса нам сначала нужно найти его высоту. Мы знаем радиус основания (r = 3 см) и общую площадь поверхности (S = 75,36 см²). Общая площадь поверхности конуса складывается из площади основания и боковой поверхности.

Формула для расчета общей площади поверхности конуса выглядит следующим образом:

S = πr² + πrL,

где:

• S - общая площадь поверхности конуса;
• r - радиус основания;
• L - длина образующей (генератор) конуса;
• π - число Пи, в данном случае мы используем 3,14.

Сначала вычислим площадь основания:

Площадь основания (A) = πr² = 3,14 * (3)² = 3,14 * 9 = 28,26 см².

Теперь подставим известные значения в формулу для общей площади:

75,36 = 28,26 + 3,14 * 3 * L.

Теперь найдем значение 3,14 * 3:

3,14 * 3 = 9,42.

Подставим это значение в уравнение:

75,36 = 28,26 + 9,42L.

Теперь выразим 9,42L:

9,42L = 75,36 - 28,26 = 47,1.

Теперь найдем L:

L = 47,1 / 9,42 ≈ 5 см.

Теперь, когда мы знаем длину образующей (L), мы можем найти высоту конуса (h) с помощью теоремы Пифагора:

h = √(L² - r²).

Подставим известные значения:

h = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4 см.

Теперь мы можем найти объем конуса. Формула для объема конуса:

V = (1/3) * π * r² * h.

Подставим известные значения:

V = (1/3) * 3,14 * (3)² * 4 = (1/3) * 3,14 * 9 * 4 = (1/3) * 3,14 * 36.

Теперь посчитаем:

(1/3) * 3,14 * 36 = 3,14 * 12 = 37,68 см³.

Таким образом, объем конуса составляет 37,68 см³.