Какой объем конуса, если радиус его основания равен 3 см, а угол между образующей и осью конуса составляет 60°?

Математика 11 класс Объем конуса объем конуса радиус основания угол образующей математика 11 класс задачи на объём формула объема конуса Новый

Чтобы найти объем конуса, нам нужно знать радиус основания и высоту конуса. У нас уже есть радиус основания, который равен 3 см. Теперь нам нужно найти высоту конуса, используя угол между образующей и осью конуса.

Формула для объема конуса выглядит следующим образом:

V = (1/3) * π * r² * h

где V - объем конуса, r - радиус основания, h - высота конуса.

Теперь давайте найдем высоту конуса. Мы знаем, что угол между образующей и осью конуса составляет 60°. Обозначим высоту конуса как h, а образующую как l. В этом случае мы можем использовать тригонометрию.

В правом треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, мы можем использовать синус угла:

sin(угол) = противолежащий катет / гипотенуза

В нашем случае:

• противолежащий катет - это высота h конуса;
• гипотенуза - это образующая l конуса.

С учетом того, что радиус основания равен 3 см, мы можем также использовать косинус для нахождения высоты:

cos(угол) = прилежащий катет / гипотенуза

Где прилежащий катет - это радиус r, который равен 3 см:

cos(60°) = r / l

Поскольку cos(60°) = 0.5, получаем:

0.5 = 3 / l

Отсюда:

l = 3 / 0.5 = 6 см

Теперь мы можем найти высоту h через синус:

sin(60°) = h / l

Где sin(60°) = √3/2. Подставляем значение l:

√3/2 = h / 6

Отсюда:

h = 6 * √3/2 = 3√3 см

Теперь у нас есть радиус и высота конуса:

• r = 3 см;
• h = 3√3 см.

Теперь подставим эти значения в формулу для объема:

V = (1/3) * π * (3)² * (3√3)

V = (1/3) * π * 9 * 3√3

V = 9π√3 см³

Таким образом, объем конуса равен 9π√3 см³.