Какой предел имеет выражение Lim(x стремится 0) (cosx)^1/x^2?

Математика 11 класс Пределы функции предел выражение lim cosX x стремится 0 математика анализ функция 1/x^2 вычисление предела Новый

Чтобы найти предел выражения Lim(x стремится 0) (cos x)^(1/x^2), давайте разберем его шаг за шагом.

Первое, что мы заметим, это то, что при x стремящемся к 0, значение cos x стремится к cos(0) = 1. Поэтому, если мы подставим x = 0, то получим (cos(0))^(1/0^2), что дает неопределенность вида 1^(бесконечность).

Чтобы решить эту неопределенность, мы можем использовать логарифмическое преобразование. Давайте обозначим:

• y = (cos x)^(1/x^2).

Теперь возьмем натуральный логарифм обеих сторон:

• ln(y) = (1/x^2) * ln(cos x).

Теперь нам нужно найти предел Lim(x стремится 0) ln(y), что равносильно:

• Lim(x стремится 0) (1/x^2) * ln(cos x).

Теперь рассмотрим ln(cos x). При x стремящемся к 0, мы знаем, что cos x стремится к 1, а следовательно, ln(cos x) стремится к ln(1) = 0.

Для более точного анализа воспользуемся разложением cos x в ряд Тейлора:

• cos x ≈ 1 - x^2/2 + O(x^4) при x стремящемся к 0.

Тогда:

• ln(cos x) ≈ ln(1 - x^2/2) ≈ -x^2/2 (при малых x, используя разложение для ln).

Теперь подставим это в предел:

• Lim(x стремится 0) (1/x^2) * ln(cos x) ≈ Lim(x стремится 0) (1/x^2) * (-x^2/2) = Lim(x стремится 0) (-1/2) = -1/2.

Таким образом, мы нашли, что:

• Lim(x стремится 0) ln(y) = -1/2.

Теперь вернемся к y. Мы знаем, что если ln(y) = -1/2, то:

• y = e^(-1/2) = 1/sqrt(e).

Таким образом, предел выражения Lim(x стремится 0) (cos x)^(1/x^2) равен:

• 1/sqrt(e).

Итак, окончательный ответ:

• Lim(x стремится 0) (cos x)^(1/x^2) = 1/sqrt(e).