Материальная точка движется по прямой по закону S(t)=4t^3-2t^2+1. Как можно определить скорость и ускорение этой точки в момент времени 4 секунды, если перемещение измеряется в метрах?

Математика 11 класс Дифференциальное исчисление математика 11 класс закон движения скорость ускорение материалная точка S(t) производная время 4 секунды перемещение в метрах Новый

Чтобы определить скорость и ускорение материальной точки, движущейся по заданному закону перемещения S(t), нам нужно воспользоваться производными. Давайте разберем этот процесс по шагам.

Шаг 1: Найдем скорость

Скорость v(t) точки определяется как первая производная перемещения S(t) по времени t:

v(t) = dS(t)/dt

В нашем случае S(t) = 4t^3 - 2t^2 + 1. Теперь найдем производную:

• Производная от 4t^3 равна 12t^2.
• Производная от -2t^2 равна -4t.
• Производная от константы 1 равна 0.

Таким образом, скорость v(t) будет:

v(t) = 12t^2 - 4t

Теперь подставим t = 4 секунды:

v(4) = 12(4^2) - 4(4) = 12(16) - 16 = 192 - 16 = 176 м/с.

Шаг 2: Найдем ускорение

Ускорение a(t) точки определяется как вторая производная перемещения S(t) или первая производная скорости v(t):

a(t) = dv(t)/dt

Мы уже нашли v(t) = 12t^2 - 4t. Теперь найдем производную:

• Производная от 12t^2 равна 24t.
• Производная от -4t равна -4.

Таким образом, ускорение a(t) будет:

a(t) = 24t - 4

Теперь подставим t = 4 секунды:

a(4) = 24(4) - 4 = 96 - 4 = 92 м/с².

Итак, в момент времени 4 секунды:

• Скорость точки составляет 176 м/с.
• Ускорение точки составляет 92 м/с².