Мне нужна помощь с неопределенным интегралом: 3/2 * интеграл (dx / sqrt(3 - 4x - 4x^2)).

Математика 11 класс Неопределённые интегралы неопределенный интеграл интеграл с корнем математика 11 класс помощь с интегралами решение интегралов Новый

Давайте решим данный неопределенный интеграл шаг за шагом. Нам нужно вычислить интеграл:

3/2 * интеграл (dx / sqrt(3 - 4x - 4x^2))

Первым делом упростим выражение под корнем. Для этого перепишем его:

3 - 4x - 4x^2

Мы можем привести это выражение к стандартному виду квадратного трёхчлена. Для этого сначала поменяем порядок слагаемых:

-4x^2 - 4x + 3

Теперь выделим полный квадрат. Для этого мы можем использовать формулу:

ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k

где h = -b/(2a) и k = c - (b^2)/(4a).

В нашем случае a = -4, b = -4, c = 3. Подставим значения:

• h = -(-4)/(2*-4) = 1/2
• k = 3 - (-4)^2/(4*-4) = 3 - 1 = 2

Таким образом, мы можем записать:

-4(x + 1/2)^2 + 2

Теперь подставим это обратно в наш интеграл:

3/2 * интеграл (dx / sqrt(2 - 4(x + 1/2)^2))

Теперь сделаем замену переменной. Пусть:

u = x + 1/2

Тогда:

dx = du

И интеграл становится:

3/2 * интеграл (du / sqrt(2 - 4u^2))

Теперь упростим выражение под корнем:

sqrt(2 - 4u^2) = sqrt(2(1 - 2u^2)) = sqrt(2) * sqrt(1 - 2u^2)

Теперь подставим это в интеграл:

3/(2*sqrt(2)) * интеграл (du / sqrt(1 - 2u^2))

Это интеграл имеет известное решение. Мы можем использовать формулу для интеграла:

интеграл (dx / sqrt(1 - kx^2)) = (1/sqrt(k)) * arcsin(sqrt(k)x) + C

В нашем случае k = 2. Таким образом, интеграл будет равен:

(1/sqrt(2)) * arcsin(sqrt(2)u) + C

Теперь вернемся к переменной x:

u = x + 1/2

Итак, подставим обратно:

3/(2*sqrt(2)) * ((1/sqrt(2)) * arcsin(sqrt(2)(x + 1/2)) + C)

Теперь упрощаем окончательно:

(3/2) * arcsin(sqrt(2)(x + 1/2)) + C

Таким образом, наш окончательный ответ:

3/2 * arcsin(sqrt(2)(x + 1/2)) + C

Это и есть решение нашего интеграла. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!