Можете помочь с решением уравнения x²dx + ydy = 0?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения уравнение x²dx + ydy = 0 решение уравнения математика 11 класс Дифференциальные уравнения помощь с математикой Новый

Конечно! Давайте решим уравнение x²dx + ydy = 0 шаг за шагом.

Это уравнение можно переписать в более удобной форме. Сначала мы можем разделить его на два отдельных дифференциала:

• x²dx = - ydy

Теперь мы можем разделить переменные. Для этого перенесем все члены, содержащие x, на одну сторону, а все члены, содержащие y, на другую:

• dx/x² = - dy/y

Теперь мы можем интегрировать обе стороны. Начнем с левой стороны:

• ∫ dx/x² = ∫ -dy/y

Интегрируя, мы получаем:

• ∫ dx/x² = -1/x + C₁
• ∫ -dy/y = -ln|y| + C₂

Теперь мы можем записать результат интегрирования:

• -1/x = -ln|y| + C

Где C = C₂ - C₁ — произвольная константа. Теперь умножим обе стороны на -1:

• 1/x = ln|y| - C

Теперь мы можем выразить y через x:

• ln|y| = 1/x + C

Применяя экспоненту к обеим сторонам, получаем:

• |y| = e^(1/x + C) = e^(1/x) * e^C

Обозначим e^C как K (где K — положительная константа), тогда:

• |y| = K * e^(1/x)

Теперь, учитывая, что y может быть как положительным, так и отрицательным, мы можем записать окончательное решение как:

• y = ±K * e^(1/x)

Таким образом, мы нашли общее решение уравнения x²dx + ydy = 0. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!