Для решения данной задачи начнем с анализа чисел, расположенных на окружности, и вычисления разностей между соседними числами.

Числа, которые мы рассматриваем, это натуральные числа от 4 до 30. Это значит, что у нас есть 27 чисел: 4, 5, 6, ..., 30. Теперь давайте рассмотрим разности для соседних чисел.

• Соседние числа на окружности - это числа, которые идут одно за другим. Например, если мы возьмем 4 и 5, то разность будет 5 - 4 = 1.
• Максимальная разность между соседними числами будет, если мы расположим числа так, чтобы минимальное число было рядом с максимальным. Например, если 4 и 30 стоят рядом, разность будет 30 - 4 = 26.

Теперь, чтобы все разности были не меньше 14, нужно проверить, возможно ли это. Если у нас есть 27 чисел, максимальная разность между соседними числами не может превышать 26, но также и минимальные разности должны быть не меньше 14.

Если бы все разности были не меньше 14, то для 27 чисел у нас было бы 27 разностей. Сумма всех разностей должна быть не меньше 27 * 14 = 378. Однако, если мы берем числа от 4 до 30, то сумма всех чисел равна:

• Сумма = (количество чисел) * (среднее арифметическое)
• Количество чисел = 30 - 4 + 1 = 27
• Среднее арифметическое = (4 + 30) / 2 = 17
• Сумма = 27 * 17 = 459

Теперь, если мы вычтем 378 из 459, получаем 81. Это означает, что разности между соседними числами не могут быть все больше или равны 14, так как у нас недостаточно "резервов" для создания таких разностей.

Теперь проверим, могут ли все разности быть не меньше 13:

• Если все разности не меньше 13, то сумма разностей будет не меньше 27 * 13 = 351.
• Разница между суммой чисел (459) и минимальной суммой разностей (351) составляет 108.

Это означает, что мы можем распределить разности так, чтобы они были не меньше 13, так как у нас достаточно "резервов" для этого.

• Теперь рассмотрим разности между числами, которые стоят через одно. Например, разность между 4 и 6, 5 и 7 и так далее.
• Максимальные разности также будут зависеть от расположения чисел.

Чтобы найти наибольшее целое число k, для которого все разности были бы не меньше k, нужно учитывать, что максимальная разность между числами на окружности может достигать 26, а минимальные разности между числами, стоящими через одно, будут зависеть от их расположения.

Если мы расположим числа так, чтобы разности между соседними были 13 (возможно), то разности через одно могут быть больше, но не менее 14, если мы правильно разместим числа. Таким образом, наибольшее целое число k, для которого все разности могут быть не меньше k, будет равно 13.