На стороне аб треугольника авс расположены точки м и н так, что ам:мн:нб=2:2:1, а на стороне ас находится точка к, где ак:кс=1:2. Как можно вычислить площадь треугольника МНК, если площадь треугольника АВС равна 1?

Математика 11 класс Площадь треугольника площадь треугольника МНК площадь треугольника АВС пропорции отрезков треугольники с общей площадью вычисление площади треугольника Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства подобия треугольников и отношение площадей.

Дано, что площадь треугольника ABC равна 1. Нам нужно найти площадь треугольника MNK, где точки M и N расположены на стороне AB, а точка K на стороне AC.

Сначала определим координаты точек M и N на стороне AB. Поскольку AM:MN:NB = 2:2:1, мы можем обозначить длину отрезка AB как 5x (где x - некоторый масштабный коэффициент). Тогда:

• AM = 2x
• MN = 2x
• NB = 1x

Теперь мы можем определить, что:

• Доля отрезка AM от AB = AM/AB = 2x/5x = 2/5
• Доля отрезка AN (где N - это точка, которая делит отрезок AB) = (AM + MN)/(AM + MN + NB) = (2x + 2x)/(5x) = 4/5

Таким образом, точка M делит отрезок AB в отношении 2:3, а точка N делит его в отношении 4:5.

Теперь рассмотрим сторону AC. У нас есть точка K, которая делит отрезок AC в отношении AK:KC = 1:2. Если мы обозначим длину отрезка AC как 3y, то:

• AK = 1y
• KC = 2y

Теперь мы можем определить, что:

• Доля отрезка AK от AC = AK/AC = 1y/3y = 1/3

Теперь мы можем найти площадь треугольника MNK. Площадь треугольника, образованного точками, которые делят стороны исходного треугольника, пропорциональна произведению долей, на которые эти точки делят стороны.

Площадь треугольника MNK можно выразить как:

Площадь треугольника MNK = Площадь треугольника ABC (доля AM доля AK)

Подставляем значения:

Площадь MNK = 1 (2/5 1/3) = 2/15

Таким образом, площадь треугольника MNK равна 2/15.