В треугольнике ABC, который является равнобедренным, стороны AB и BC равны и составляют 20 см. Если тангенс угла равен 1/3, то какова площадь этого треугольника?

Математика 11 класс Площадь треугольника равнобедренный треугольник площадь треугольника тангенс угла стороны треугольника геометрия 11 класс Новый

Для начала давайте обозначим стороны треугольника ABC. Пусть AB = AC = 20 см, а BC - основание, которое мы обозначим как a. Угол при вершине A обозначим как α.

Из условия задачи нам дано, что тангенс угла α равен 1/3. Это означает, что:

tan(α) = 1/3

Тангенс угла в треугольнике может быть выражен через противолежащую и прилежащую стороны. В данном случае, если мы опустим перпендикуляр из точки A на основание BC, то получим два прямоугольных треугольника. Обозначим точку, в которую опущен перпендикуляр, как D.

В треугольнике ABD:

• AD - высота, которую мы обозначим как h.
• BD - половина основания, то есть BD = a/2.

По определению тангенса:

tan(α) = h / (a/2)

Подставим значение тангенса:

1/3 = h / (a/2)

Теперь выразим h:

h = (a/2) * (1/3) = a/6

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны a:

В треугольнике ABD:

AB² = AD² + BD²

Подставляем известные значения:

20² = h² + (a/2)²

Подставим h = a/6:

20² = (a/6)² + (a/2)²

Теперь упростим уравнение:

400 = (a²/36) + (a²/4)

Найдём общий знаменатель для правой части уравнения:

400 = (a²/36) + (9a²/36) = (10a²/36)

Теперь умножим обе стороны на 36:

14400 = 10a²

Делим обе стороны на 10:

1440 = a²

Теперь найдём a:

a = √1440 = 12√10 см

Теперь у нас есть основание a и высота h. Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота

Подставим значения:

Площадь = (1/2) * (12√10) * (12√10 / 6)

Упрощаем:

Площадь = (1/2) * (12√10) * (2√10) = (1/2) * 24 * 10 = 120 см²

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 120 см².