Давайте рассмотрим задачу о рукопожатиях между шестью друзьями. Мы будем использовать метод, основанный на теории графов и принципе Дирихле.

Шаг 1: Определение ситуации

Предположим, что каждый из шести друзей может либо обменяться рукопожатием с другим, либо не обменяться. Таким образом, мы можем представить каждого друга как вершину графа, а рукопожатие между двумя друзьями как ребро, соединяющее эти вершины.

Шаг 2: Возможные рукопожатия

Рассмотрим одного из друзей, назовем его A. У него есть пять других друзей (B, C, D, E, F),с которыми он может обменяться рукопожатием или не обменяться. У каждого из этих друзей есть два варианта: либо они обменялись рукопожатием с A, либо нет.

Шаг 3: Применение принципа Дирихле

Таким образом, для каждого из 5 друзей у нас есть 2 варианта (обменялись рукопожатием или нет). Это создает 2^5 = 32 различных комбинаций, но нас интересует только то, как распределяются рукопожатия.

Теперь, если мы рассмотрим друзей, которые обменялись рукопожатием с A, то их может быть от 0 до 5. Если мы обозначим количество друзей, которые обменялись рукопожатием с A, как n, то это число может принимать значения от 0 до 5.

Шаг 4: Анализ возможных случаев

• Если n = 0 (никто не обменялся рукопожатием с A),то у нас есть 6 друзей, которые никогда не обменивались рукопожатием.
• Если n = 1 (только один друг обменялся рукопожатием с A),то остальные 4 друга не обменялись рукопожатием с A и не обменялись рукопожатием между собой, что также дает нам 3 друзей, которые не обменивались рукопожатием.
• Если n = 2, то 2 друга обменялись рукопожатием с A, а остальные 3 могут либо обменяться рукопожатием между собой, либо нет. В любом случае, среди этих 3 друзей найдется 1 пара, которая либо обменялась рукопожатием, либо нет.
• Если n = 3, то 3 друга обменялись рукопожатием с A и 2 друга не обменялись. Здесь 3 друга, которые обменялись, могут обменяться рукопожатием между собой, что также дает нам 3 друга, которые обменялись рукопожатием.
• Если n = 4, то 4 друга обменялись рукопожатием с A, а 1 друг не обменялся. Снова можно найти 3 друга, которые обменялись рукопожатием.
• Если n = 5, то все 5 друзей обменялись рукопожатием с A.

Шаг 5: Заключение

Таким образом, в любом случае, независимо от того, сколько друзей обменялись рукопожатием с A, мы всегда можем найти 3 друга, которые либо уже обменялись рукопожатием, либо еще не обменялись. Это и доказывает, что в любой момент времени существует три друга, которые либо уже обменялись рукопожатием, либо еще не обменялись рукопожатием.