На вечеринке собрались 6 друзей. Обоснуйте, что в любой момент времени существует три друга, которые либо уже обменялись рукопожатием, либо еще не обменялись рукопожатием.

Математика 11 класс Комбинаторика друзья на вечеринке рукопожатия комбинаторика математическая логика доказательство теория графов Новый

Давайте рассмотрим задачу о рукопожатиях между шестью друзьями. Мы будем использовать метод, основанный на теории графов и принципе Дирихле.

Шаг 1: Определение ситуации

Предположим, что каждый из шести друзей может либо обменяться рукопожатием с другим, либо не обменяться. Таким образом, мы можем представить каждого друга как вершину графа, а рукопожатие между двумя друзьями как ребро, соединяющее эти вершины.

Шаг 2: Возможные рукопожатия

Рассмотрим одного из друзей, назовем его A. У него есть пять других друзей (B, C, D, E, F), с которыми он может обменяться рукопожатием или не обменяться. У каждого из этих друзей есть два варианта: либо они обменялись рукопожатием с A, либо нет.

Шаг 3: Применение принципа Дирихле

Таким образом, для каждого из 5 друзей у нас есть 2 варианта (обменялись рукопожатием или нет). Это создает 2^5 = 32 различных комбинаций, но нас интересует только то, как распределяются рукопожатия.

Теперь, если мы рассмотрим друзей, которые обменялись рукопожатием с A, то их может быть от 0 до 5. Если мы обозначим количество друзей, которые обменялись рукопожатием с A, как n, то это число может принимать значения от 0 до 5.

Шаг 4: Анализ возможных случаев

• Если n = 0 (никто не обменялся рукопожатием с A), то у нас есть 6 друзей, которые никогда не обменивались рукопожатием.
• Если n = 1 (только один друг обменялся рукопожатием с A), то остальные 4 друга не обменялись рукопожатием с A и не обменялись рукопожатием между собой, что также дает нам 3 друзей, которые не обменивались рукопожатием.
• Если n = 2, то 2 друга обменялись рукопожатием с A, а остальные 3 могут либо обменяться рукопожатием между собой, либо нет. В любом случае, среди этих 3 друзей найдется 1 пара, которая либо обменялась рукопожатием, либо нет.
• Если n = 3, то 3 друга обменялись рукопожатием с A и 2 друга не обменялись. Здесь 3 друга, которые обменялись, могут обменяться рукопожатием между собой, что также дает нам 3 друга, которые обменялись рукопожатием.
• Если n = 4, то 4 друга обменялись рукопожатием с A, а 1 друг не обменялся. Снова можно найти 3 друга, которые обменялись рукопожатием.
• Если n = 5, то все 5 друзей обменялись рукопожатием с A.

Шаг 5: Заключение

Таким образом, в любом случае, независимо от того, сколько друзей обменялись рукопожатием с A, мы всегда можем найти 3 друга, которые либо уже обменялись рукопожатием, либо еще не обменялись. Это и доказывает, что в любой момент времени существует три друга, которые либо уже обменялись рукопожатием, либо еще не обменялись рукопожатием.