Похожие вопросы
2025-08-29 06:52:10
На вечеринку пришло 10 парней и 10 девушек. Известно, что каждому парню нравится разное целое положительное количество девушек, а также что каждой девушке нравится разное целое положительное количество парней. Какое наибольшее количество непересекающихся пар парень-девушка, в которых люди нравятся друг другу, всегда можно выбрать?
Математика 11 класс Комбинаторика математика 11 класс задачи на соответствие комбинаторика максимальное соответствие парни и девушки теория графов оптимальное распределение задачи на графах взаимные предпочтения максимальное количество пар
2025-08-29 06:52:23
Чтобы решить задачу, давайте внимательно рассмотрим условия. У нас есть 10 парней и 10 девушек, и каждому парню нравится разное количество девушек, а каждой девушке — разное количество парней. Это означает, что у нас есть определенные ограничения на количество возможных пар.
Обозначим количество девушек, которым нравится i-й парень, как a_i, и количество парней, которым нравится j-я девушка, как b_j. У нас есть следующие условия:
- a_i — это количество девушек, которым нравится i-й парень, и a_i > 0 и a_i ≤ 10.
- b_j — это количество парней, которым нравится j-я девушка, и b_j > 0 и b_j ≤ 10.
Поскольку каждому парню и каждой девушке нравится разное количество противоположного пола, можно предположить, что:
- Парни могут нравиться 1, 2, ..., 10 девушкам.
- Девушкам могут нравиться 1, 2, ..., 10 парням.
Теперь давайте рассмотрим, как можно сформировать пары. Поскольку у нас 10 парней и 10 девушек, максимальное количество пар, которые можно сформировать, ограничивается количеством людей в каждой группе. Однако, учитывая, что каждому парню и каждой девушке нравится разное количество противоположного пола, мы можем использовать принцип "бипартитного графа", где одна часть — это парни, а другая — девушки.
Согласно теореме о максимальном паросочетании в бипартитных графах, количество непересекающихся пар будет равно минимуму из количества элементов в двух группах, если все условия выполнены. В нашем случае, поскольку у нас 10 парней и 10 девушек, максимальное количество пар, которые мы можем сформировать, будет равно 10.
Таким образом, наибольшее количество непересекающихся пар парень-девушка, в которых люди нравятся друг другу, всегда можно выбрать равняется:
10