Чтобы найти наименьшее значение функции f(x) = (2x² - x - 26) * e^x - 3 на отрезке [-1; 4], нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции: Сначала найдем производную функции f(x), чтобы определить критические точки. Производная f'(x) будет равна:
• f'(x) = (2x² - x - 26)' * e^x + (2x² - x - 26) * (e^x)'.
• Используя правила дифференцирования, получаем:
• f'(x) = (4x - 1) * e^x + (2x² - x - 26) * e^x.
• Таким образом, f'(x) = e^x * (4x - 1 + 2x² - x - 26) = e^x * (2x² + 3x - 27).
2. Найти критические точки: Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
• e^x * (2x² + 3x - 27) = 0.
• Поскольку e^x никогда не равно нулю, решим уравнение 2x² + 3x - 27 = 0.
• Используем формулу для решения квадратного уравнения: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = 3, c = -27.
• Находим дискриминант: D = 3² - 4 * 2 * (-27) = 9 + 216 = 225.
• Теперь находим корни:
• x1 = (-3 + √225) / (2 * 2) = (−3 + 15) / 4 = 12 / 4 = 3.
• x2 = (-3 - √225) / (2 * 2) = (−3 - 15) / 4 = −18 / 4 = -4.5 (не входит в отрезок [-1; 4]).
3. Подсчитать значения функции на границах и в критической точке: Теперь нам нужно вычислить значение функции f(x) в точках x = -1, x = 3 и x = 4:
• f(-1) = (2(-1)² - (-1) - 26) * e^(-1) - 3 = (2 + 1 - 26) * e^(-1) - 3 = (-23) * e^(-1) - 3.
• f(3) = (2(3)² - 3 - 26) * e^(3) - 3 = (18 - 3 - 26) * e^(3) - 3 = (-11) * e^(3) - 3.
• f(4) = (2(4)² - 4 - 26) * e^(4) - 3 = (32 - 4 - 26) * e^(4) - 3 = (2) * e^(4) - 3.
4. Сравнить значения: Теперь нам нужно сравнить вычисленные значения:
• f(-1) = (-23/e) - 3.
• f(3) = (-11e^3) - 3.
• f(4) = (2e^4) - 3.

Теперь мы можем определить, какое из значений наименьшее. Для этого нужно провести численные вычисления или оценить значения.

На основании анализа, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-1; 4] будет соответствовать минимальному из этих значений. Поскольку e^x быстро растет, можно ожидать, что f(4) будет больше, чем f(-1) и f(3).

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-1; 4] будет в точке x = 3 или x = -1. Сравнив значения, мы найдем наименьшее значение функции.