Найди точку минимума функции у = 2x - 4ln(x + 6).

Математика 11 класс Оптимизация функций точка минимума функция 11 класс математика производная оптимизация график функции Новый

Чтобы найти точку минимума функции y = 2x - 4ln(x + 6), нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции. Это позволит нам определить критические точки, где функция может иметь минимум или максимум. Производная функции y по x будет:
• Производная от 2x равна 2.
• Производная от -4ln(x + 6) равна -4/(x + 6).

Итак, производная функции будет:

y' = 2 - 4/(x + 6)
2. Приравнять производную к нулю. Это поможет нам найти критические точки:
2 - 4/(x + 6) = 0
3. Решить уравнение:
• Переносим 4/(x + 6) на правую сторону:
2 = 4/(x + 6)
• Умножаем обе стороны на (x + 6):
2(x + 6) = 4
• Раскрываем скобки:
2x + 12 = 4
• Переносим 12 на правую сторону:
2x = 4 - 12
• Считаем:
2x = -8
• Делим обе стороны на 2:
x = -4
4. Проверить, является ли эта точка минимумом. Для этого найдем вторую производную:
• Первая производная: y' = 2 - 4/(x + 6)
• Вторая производная будет равна: y'' = 4/(x + 6)^2 (поскольку производная от -4/(x + 6) будет положительной).

Вторая производная y'' всегда положительна для x > -6, что означает, что функция имеет минимум в точке x = -4.

5. Найти значение функции в точке минимума:
• Подставляем x = -4 в исходную функцию:
y = 2(-4) - 4ln(-4 + 6)
• Считаем:
y = -8 - 4ln(2)
• Таким образом, значение функции в точке минимума: y = -8 - 4ln(2)

Таким образом, точка минимума функции y = 2x - 4ln(x + 6) находится в точке x = -4, а значение функции в этой точке равно y = -8 - 4ln(2).