Для решения данного уравнения начнем с раскрытия левой части тождества:

Раскроем скобки:

• (a sin x + b cos x)² = a² sin² x + 2ab sin x cos x + b² cos² x

Используя тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1, можем записать:

• a² sin² x + b² cos² x = a² (1 - cos² x) + b² cos² x = a² - a² cos² x + b² cos² x

Теперь объединим все это:

• (a sin x + b cos x)² = a² - (a² - b²) cos² x + 2ab sin x cos x

Теперь перейдем к правой части тождества:

Используя формулу для синуса двойного угла, sin 2x = 2 sin x cos x, можем записать:

• c sin 2x + d = c (2 sin x cos x) + d = 2c sin x cos x + d

Теперь у нас есть:

Сравним коэффициенты при sin x cos x и при cos² x:

• Коэффициент при sin x cos x: 2ab = 2c
• Коэффициент при cos² x: -(a² - b²) = 0
• Константа: a² + d = 0

Решим систему уравнений:

1. Из уравнения 2ab = 2c получаем: ab = c.
2. Из уравнения -(a² - b²) = 0 получаем: a² = b². Это означает, что a = b или a = -b.
3. Из уравнения a² + d = 0 получаем: d = -a².

Теперь рассмотрим два случая:

• Тогда c = a² и d = -a².

• Тогда c = -a² и d = -a².

Теперь у нас есть два набора решений:

• Для первого случая: (a, a, a², -a²) при a ≠ 0.
• Для второго случая: (a, -a, -a², -a²) при a ≠ 0.

Таким образом, постоянные a, b, c и d могут быть найдены в зависимости от a, при этом a² + b² + c² + d² ≠ 0 будет выполняться, если a ≠ 0.