Чтобы найти все первообразные функции для данной функции f(x) = 3x^2 + 2x * e^x, мы будем использовать правило интегрирования по частям и стандартные правила интегрирования.

Первое, что нам нужно сделать, это разбить функцию на две части:

• Первая часть: 3x^2
• Вторая часть: 2x * e^x

Теперь мы будем интегрировать каждую из этих частей по отдельности.

Интеграл от 3x^2 можно найти, используя стандартное правило интегрирования:

• ∫3x^2 dx = 3 * (x^3 / 3) = x^3

Таким образом, первообразная для первой части равна x^3.

Для интегрирования второй части мы применим метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит так:

∫u dv = uv - ∫v du

Выберем:

• u = 2x (тогда du = 2 dx)
• dv = e^x dx (тогда v = e^x)

Теперь подставим в формулу:

• ∫2x * e^x dx = 2x * e^x - ∫e^x * 2 dx

Теперь нам нужно вычислить второй интеграл:

• ∫e^x * 2 dx = 2 * e^x

Таким образом, мы получаем:

• ∫2x * e^x dx = 2x * e^x - 2 * e^x

Теперь мы можем объединить результаты интегрирования обеих частей:

• ∫f(x) dx = ∫(3x^2 + 2x * e^x) dx = x^3 + (2x * e^x - 2 * e^x) + C

Где C - произвольная постоянная.

Ответ: Все первообразные функции для f(x) = 3x^2 + 2x * e^x имеют вид:

F(x) = x^3 + 2x * e^x - 2 * e^x + C, где C - произвольная постоянная.