Паша записал пять натуральных чисел, а Лена вычислила все возможные попарные суммы этих чисел. В итоге она получила три различных значения: 43, 54 и 65. После этого Петя смог определить наибольшее из чисел, которые записал Паша. Какое из этих чисел является наибольшим?

Математика 11 класс Комбинаторика попарные суммы натуральные числа наибольшее число задача по математике решение задачи математика 11 класс Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Пусть пять натуральных чисел, записанных Пашей, обозначим как a, b, c, d, e. Лена вычислила все возможные попарные суммы этих чисел. Поскольку у нас пять чисел, количество попарных сумм будет равно C(5, 2) = 10. Это означает, что у нас есть 10 сумм, но, согласно условию, они делятся на три различных значения: 43, 54 и 65.

Теперь, чтобы понять, как эти суммы могут быть распределены, давайте рассмотрим, как можно получить попарные суммы:

• Наименьшая сумма будет получена из двух наименьших чисел.
• Наибольшая сумма будет получена из двух наибольших чисел.

Пусть a, b, c, d, e - это числа, упорядоченные по возрастанию (a < b < c < d < e). Тогда:

• Наименьшая сумма: a + b = 43
• Наибольшая сумма: d + e = 65

Теперь у нас есть сумма 54, которая может быть получена из других комбинаций чисел. Давайте попробуем понять, какие это могут быть суммы:

• c + d
• c + e
• b + d
• b + e
• a + c
• a + d
• a + e
• b + c
• c + c (если c = c)

Однако, у нас есть только три различных суммы. Это значит, что некоторые из этих сумм должны совпадать.

Теперь давайте проанализируем, что может означать сумма 54. Мы можем предположить, что:

• c + d = 54
• c + e = 54
• b + d = 54

Теперь у нас есть три уравнения:

• a + b = 43
• d + e = 65
• c + d = 54

Теперь давайте выразим d и e через a, b и c:

• Из первого уравнения: b = 43 - a
• Подставим b во второе уравнение: d + e = 65
• Из третьего уравнения: d = 54 - c

Теперь подставим d в уравнение для e:

• 54 - c + e = 65
• e = 65 - (54 - c)
• e = 11 + c

Теперь у нас есть:

• b = 43 - a
• d = 54 - c
• e = 11 + c

Теперь мы можем найти наибольшее число e. Чтобы оно было натуральным, c должно быть натуральным, и следовательно, a, b, d также должны быть натуральными. Если мы подставим минимальные значения, например, a = 1, то:

• b = 42
• c = 11 (например)
• d = 43
• e = 22

В итоге, наибольшее число, которое мы можем получить, будет равно e = 22.

Однако, если мы подберем другие значения, например, a = 8, b = 35, c = 19, d = 35, e = 30, то мы можем получить:

• a + b = 43
• d + e = 65
• c + d = 54

Таким образом, наибольшее из чисел, которые записал Паша, равно 30.

Ответ: Наибольшее число, записанное Пашей, равно 30.