Чтобы показать, что функция y(x) = ln(2 + e^x) удовлетворяет уравнению y' = e^(x - y), нам нужно сначала найти производную функции y(x), а затем подставить её в уравнение и проверить равенство.

1. Найдем производную y(x):
• Функция y(x) = ln(2 + e^x).
• Используем правило дифференцирования логарифмической функции: (ln(u))' = (u'/u), где u = 2 + e^x.
• Найдем производную u: u' = e^x.
• Теперь подставим в формулу: y' = (e^x) / (2 + e^x).

Таким образом, мы получили:

y' = e^x / (2 + e^x).

1. Теперь подставим y(x) в правую часть уравнения:
• Сначала найдем e^(x - y):
• Подставляем y = ln(2 + e^x):
• Получаем x - y = x - ln(2 + e^x).
• Используя свойства логарифмов, мы можем переписать это как:
• x - ln(2 + e^x) = ln(e^x) - ln(2 + e^x) = ln(e^x / (2 + e^x)).
• Теперь найдем e^(x - y):
• e^(x - y) = e^(ln(e^x / (2 + e^x))) = e^x / (2 + e^x).

Таким образом, мы получили:

e^(x - y) = e^x / (2 + e^x).

1. Сравним обе части:
• Мы нашли, что y' = e^x / (2 + e^x) и e^(x - y) = e^x / (2 + e^x).
• Таким образом, y' = e^(x - y).

Следовательно, мы показали, что функция y(x) = ln(2 + e^x) удовлетворяет уравнению y' = e^(x - y).