Помогите. Как найти решение задачи Коши: y'-y/x=x^2; y(1)=0?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения задача Коши решение задачи Коши y'-y/x=x^2 начальные условия Дифференциальные уравнения математика решение уравнения Новый

Привет! Давай разберемся с этой задачей Коши шаг за шагом.

У нас есть уравнение:

y' - y/x = x^2

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Чтобы его решить, давай сначала найдем интегрирующий множитель. Для этого нам нужно выразить его в стандартной форме:

y' + P(x)y = Q(x)

Где:

• P(x) = -1/x
• Q(x) = x^2

Теперь находим интегрирующий множитель:

μ(x) = e^(∫P(x)dx) = e^(∫(-1/x)dx) = e^(-ln|x|) = 1/x

Теперь умножим все уравнение на этот множитель:

(1/x)y' - (1/x)(y/x) = x

Это можно записать как:

(y/x)' = x

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(y/x)' dx = ∫x dx

Получаем:

y/x = (x^2)/2 + C

Теперь умножим обе стороны на x:

y = (x^3)/2 + Cx

Теперь нам нужно найти постоянную C, используя начальное условие y(1) = 0:

0 = (1^3)/2 + C(1)

Это даст:

0 = 1/2 + C

Отсюда:

C = -1/2

Теперь подставим C обратно в наше уравнение:

y = (x^3)/2 - (1/2)x

Итак, решение задачи Коши:

y = (x^3 - x)/2

Надеюсь, это поможет! Если есть еще вопросы, спрашивай!