Помогите найти первообразную для следующих функций:

1. f(x) = 2sin(3x)
2. f(x) = (2x - 3) в 5 степени

Математика 11 класс Неопределённый интеграл первообразная функции математика 11 класс интегралы синус полиномы Новый

Давайте найдем первообразные для обеих функций поочередно.

1. Для функции f(x) = 2sin(3x):

• Первый шаг - вспомнить, что первообразная синуса имеет вид: ∫sin(kx)dx = -1/k * cos(kx) + C, где k - это коэффициент перед x.
• В нашей функции k = 3, поэтому мы можем подставить это значение в формулу:
• Применяем правило интегрирования:
• ∫2sin(3x)dx = 2 * (-1/3 * cos(3x)) + C.
• Упрощаем выражение:
• Это будет равно: -2/3 * cos(3x) + C.

Таким образом, первообразная для функции f(x) = 2sin(3x) равна:

-2/3 * cos(3x) + C

2. Для функции f(x) = (2x - 3)^5:

• Здесь мы будем использовать метод замены переменной. Обозначим u = 2x - 3. Тогда, производная u по x равна du/dx = 2, что означает du = 2dx.
• Теперь выразим dx через du: dx = du/2.
• Теперь подставим это в интеграл:
• ∫(2x - 3)^5 dx = ∫u^5 * (du/2) = (1/2) * ∫u^5 du.
• Теперь найдем первообразную для u^5:
• ∫u^5 du = (1/6) * u^6 + C.
• Подставляем обратно u = 2x - 3:
• (1/2) * (1/6) * (2x - 3)^6 + C = (1/12) * (2x - 3)^6 + C.

Таким образом, первообразная для функции f(x) = (2x - 3)^5 равна:

(1/12) * (2x - 3)^6 + C