Помогите определить область определения функции y=(3x+1)/(√(x^(3)+x+1)).

Математика 11 класс Область определения функции область определения функции математика 11 класс дробно-рациональная функция корень из выражения решение задачи по математике Новый

Чтобы определить область определения функции y = (3x + 1) / (√(x^3 + x + 1)), нам нужно учесть несколько важных моментов, связанных с математическими свойствами функции.

1. Область определения знаменателя: Поскольку функция включает дробь, важно, чтобы знаменатель не равнялся нулю. В нашем случае знаменатель равен √(x^3 + x + 1). Чтобы он был определён, подкоренное выражение должно быть больше нуля:
• x^3 + x + 1 > 0
2. Область определения подкоренного выражения: Поскольку мы имеем дело с квадратным корнем, выражение под корнем должно быть неотрицательным:
• x^3 + x + 1 ≥ 0

Теперь нам нужно исследовать неравенство x^3 + x + 1 ≥ 0. Для этого мы можем проанализировать функцию f(x) = x^3 + x + 1.

1. Найдём производную функции f(x):

• f'(x) = 3x^2 + 1

Поскольку 3x^2 + 1 > 0 для всех x, это означает, что функция f(x) является строго возрастающей.

2. Теперь найдем значение функции в некоторых точках:

• f(-1) = (-1)^3 + (-1) + 1 = -1 + -1 + 1 = -1 < 0
• f(0) = 0^3 + 0 + 1 = 1 > 0

Таким образом, мы видим, что функция f(x) меняет знак между x = -1 и x = 0. Поскольку f(x) строго возрастает, можно сделать вывод, что f(x) = 0 имеет ровно одну корень в интервале (-1, 0).

3. Теперь давайте найдем этот корень. Поскольку мы не можем решить кубическое уравнение аналитически, мы можем использовать численные методы или графический метод для нахождения корня. Однако, для определения области определения, нам важно знать, что:

• f(x) < 0 для x < -1
• f(x) = 0 для некоторого x в (-1, 0)
• f(x) > 0 для x > 0

Таким образом, мы можем заключить, что:

• Область определения функции y = (3x + 1) / (√(x^3 + x + 1)) — это все значения x, для которых x^3 + x + 1 > 0.

Итак, окончательная область определения функции:

• x ∈ (-1, +∞)