Чтобы найти общее решение уравнения x' = ctg t, следуем следующим шагам:

1. Определим уравнение:

   Мы имеем первое дифференциальное уравнение в виде x' = ctg t, где x' обозначает производную функции x(t) по времени t.

2. Перепишем уравнение:

   Запишем уравнение в более удобной форме:

   x' = ctg t = cos t / sin t

3. Разделим переменные:

   Мы можем разделить переменные, чтобы получить:

   dx = ctg t dt

4. Интегрируем обе стороны:

   Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

   • Интеграл слева: ∫ dx = x + C1, где C1 - произвольная константа.

   • Интеграл справа: ∫ ctg t dt. Этот интеграл равен ln |sin t| + C2, где C2 - другая произвольная константа.

5. Объединим результаты:

   После интегрирования мы получаем:

   x = ln |sin t| + C, где C = C2 - C1 - произвольная константа.

6. Запишем общее решение:

   Таким образом, общее решение уравнения x' = ctg t можно записать в виде:

   x(t) = ln |sin t| + C.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения. Не забудьте, что функция sin t может принимать значения, равные нулю, поэтому необходимо учитывать область определения решения.