Помогите, пожалуйста: Как найти площадь области, заключенной между кривыми y = x^4 и y = 1?

Математика 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь области кривые y = x^4 y = 1 нахождение площади интеграл математика 11 класс Новый

Чтобы найти площадь области, заключенной между кривыми y = x^4 и y = 1, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс поэтапно.

1. Найти точки пересечения кривых.

   Сначала мы должны найти, где кривые y = x^4 и y = 1 пересекаются. Для этого приравняем их:

   x^4 = 1

   Решим это уравнение:

   • Извлекаем корень четвертой степени: x = ±1.

   Таким образом, точки пересечения кривых находятся в x = -1 и x = 1.

2. Определить площадь между кривыми.

   Площадь, заключенная между кривыми, можно найти с помощью интеграла. Мы будем интегрировать разность верхней функции (y = 1) и нижней функции (y = x^4) от x = -1 до x = 1:

   Площадь = ∫ от -1 до 1 (1 - x^4) dx

3. Вычислить интеграл.

   Теперь вычислим интеграл:

   ∫ (1 - x^4) dx = ∫ 1 dx - ∫ x^4 dx

   • ∫ 1 dx = x
   • ∫ x^4 dx = (x^5)/5

   Таким образом, получаем:

   ∫ (1 - x^4) dx = x - (x^5)/5

4. Подставить пределы интегрирования.

   Теперь подставим пределы интегрирования от -1 до 1:

   Площадь = [x - (x^5)/5] от -1 до 1

   Сначала подставим x = 1:

   1 - (1^5)/5 = 1 - 1/5 = 4/5

   Теперь подставим x = -1:

   -1 - ((-1)^5)/5 = -1 + 1/5 = -4/5

5. Вычислить разность значений.

   Теперь найдем разность между результатами:

   Площадь = (4/5) - (-4/5) = 4/5 + 4/5 = 8/5

Итак, площадь области, заключенной между кривыми y = x^4 и y = 1, равна 8/5.