Помогите пожалуйста!!! Как решить неравенство: log^2 2(x-1) - 3log2(x-1) - 1 < 0?

Математика 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство log логарифмы решение неравенства математика 11 класс логарифмическое неравенство x-1 математические задачи Новый

Давайте решим неравенство: log^2 2(x-1) - 3log2(x-1) - 1 < 0. Для начала, введем замену, чтобы упростить наше выражение.

Обозначим:

• y = log2(x - 1)

Теперь наше неравенство можно переписать в следующем виде:

y^2 - 3y - 1 < 0

Теперь мы можем решить это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

y^2 - 3y - 1 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -3, c = -1.

Подставим значения:

• b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-1) = 9 + 4 = 13

Теперь находим корни:

• y1 = (3 + √13) / 2
• y2 = (3 - √13) / 2

Теперь определим, где выражение y^2 - 3y - 1 < 0. Для этого нам нужно найти промежутки, на которых оно отрицательно. Мы знаем, что парабола открыта вверх (коэффициент при y^2 положительный), следовательно, она будет отрицательной между корнями:

y2 < y < y1, где:

• y2 = (3 - √13) / 2
• y1 = (3 + √13) / 2

Теперь вернемся к нашей замене:

(3 - √13) / 2 < log2(x - 1) < (3 + √13) / 2

Теперь преобразуем логарифмическое неравенство в экспоненциальное:

• 2^((3 - √13) / 2) < x - 1 < 2^((3 + √13) / 2)

Теперь добавим 1 ко всем частям неравенства:

• 2^((3 - √13) / 2) + 1 < x < 2^((3 + √13) / 2) + 1

Таким образом, мы получили решение нашего неравенства. Подсчитаем значения:

• 2^((3 - √13) / 2) + 1 ≈ 2.30
• 2^((3 + √13) / 2) + 1 ≈ 6.70

Итак, окончательный ответ:

2.30 < x < 6.70