Помогите пожалуйста

Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² и у = 3х, предварительно сделав рисунок?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми вычисление площади фигура линии у = х² у = 3х график интегралы математика 11 класс решение задачи площадь фигуры Новый

Давайте разберем, как вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² и y = 3x. Для начала, нам нужно понять, где эти две функции пересекаются, чтобы определить границы интегрирования.

Шаг 1: Найдем точки пересечения.

Для этого приравняем уравнения:

• x² = 3x

Теперь перенесем все на одну сторону уравнения:

• x² - 3x = 0

Вынесем x за скобки:

• x(x - 3) = 0

Таким образом, мы получаем два решения:

• x = 0
• x = 3

Это значит, что функции пересекаются в точках (0, 0) и (3, 9).

Шаг 2: Построим график.

На рисунке мы можем изобразить обе функции:

• y = x² - парабола, которая открыта вверх.
• y = 3x - прямая, которая проходит через начало координат и имеет положительный наклон.

Пересечения этих графиков будут в точках (0, 0) и (3, 9).

Шаг 3: Вычислим площадь фигуры между графиками.

Площадь фигуры можно найти, используя интеграл:

• Площадь = интеграл от 0 до 3 (3x - x²) dx

Где (3x - x²) - это разность верхней функции (3x) и нижней функции (x²).

Шаг 4: Найдем интеграл.

Теперь вычислим интеграл:

• Интеграл (3x - x²) dx = (3/2)x² - (1/3)x³

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 3:

• Подставляем x = 3:
• (3/2)(3)² - (1/3)(3)³ = (3/2)(9) - (1/3)(27) = 13.5 - 9 = 4.5
• Подставляем x = 0:
• (3/2)(0)² - (1/3)(0)³ = 0

Теперь вычтем результаты:

• Площадь = 4.5 - 0 = 4.5

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 3x, равна 4.5 квадратных единиц.