Помогите, пожалуйста, определить точку максимума функции y = x^3 - 3x^2.

Математика 11 класс Оптимизация функций определение точки максимума функции математика 11 класс y = x^3 - 3x^2 анализ функции Новый

Чтобы определить точку максимума функции y = x^3 - 3x^2, нам нужно выполнить несколько шагов, включая нахождение производной и анализ критических точек.

1. Найти производную функции:

   Сначала найдем первую производную функции y по x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования:

   y' = d/dx (x^3) - d/dx (3x^2) = 3x^2 - 6x.

2. Найти критические точки:

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Приравняем первую производную к нулю:

   3x^2 - 6x = 0.

   Выносим общий множитель:

   3x(x - 2) = 0.

   Теперь решим это уравнение:

   • 3x = 0 → x = 0;
   • x - 2 = 0 → x = 2.

   Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 2.

3. Определить характер критических точек:

   Чтобы определить, являются ли эти точки максимумом или минимумом, мы можем воспользоваться второй производной:

   y'' = d/dx (3x^2 - 6x) = 6x - 6.

   Теперь подставим критические точки в вторую производную:

   • Для x = 0: y''(0) = 6(0) - 6 = -6 (меньше 0, значит, это точка максимума);
   • Для x = 2: y''(2) = 6(2) - 6 = 6 (больше 0, значит, это точка минимума).
4. Найти значение функции в точке максимума:

   Теперь найдем значение функции в точке максимума x = 0:

   y(0) = (0)^3 - 3(0)^2 = 0.

Итак, точка максимума функции y = x^3 - 3x^2 находится в точке (0, 0).