Помогите, пожалуйста, решить следующие задачи по математике! Вычислите неопределенный интеграл:

1. ((arccos(2x))^(2))/(sqrt(1-4x^(2)))
2. (2x+1)/((x-2)(x^(2)+9))

Математика 11 класс Неопределённые интегралы неопределенный интеграл задачи по математике вычислить интеграл математика 11 класс решение интегралов Новый

Давайте решим обе задачи по очереди, начиная с первой.

1. Вычисление интеграла:

Неопределенный интеграл, который нам нужно вычислить, выглядит так:

∫ (arccos(2x))^2 / sqrt(1 - 4x^2) dx

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться заменой переменной. Заметим, что производная функции arccos(2x) связана с корнем в знаменателе. Давайте сделаем замену:

• Пусть u = arccos(2x). Тогда 2x = cos(u) и x = (cos(u))/2.
• Теперь найдем производную: du/dx = -2/sqrt(1 - (2x)^2) = -2/sqrt(1 - 4x^2).
• Следовательно, dx = -sqrt(1 - 4x^2) / 2 du.

Теперь подставим эти выражения в наш интеграл:

∫ (u^2) * (-sqrt(1 - 4x^2) / 2) / sqrt(1 - 4x^2) du = -1/2 ∫ u^2 du.

Теперь мы можем вычислить интеграл:

-1/2 * (u^3 / 3) + C = -1/6 * (arccos(2x))^3 + C.

Таким образом, первый интеграл равен:

-1/6 * (arccos(2x))^3 + C.

2. Вычисление второго интеграла:

Теперь давайте перейдем ко второму интегралу:

∫ (2x + 1) / ((x - 2)(x^2 + 9)) dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод разложения на простые дроби. Сначала разложим дробь:

Мы можем записать:

(2x + 1) / ((x - 2)(x^2 + 9)) = A / (x - 2) + (Bx + C) / (x^2 + 9),

где A, B и C - это константы, которые нужно найти. Умножим обе стороны на знаменатель (x - 2)(x^2 + 9):

2x + 1 = A(x^2 + 9) + (Bx + C)(x - 2).

Теперь раскроем скобки:

2x + 1 = Ax^2 + 9A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C.

Соберем подобные члены:

(A + B)x^2 + (C - 2B)x + (9A - 2C) = 2x + 1.

Теперь приравняем коэффициенты:

• A + B = 0,
• C - 2B = 2,
• 9A - 2C = 1.

Решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения выражаем B: B = -A.

Подставляем B во второе уравнение:

C + 2A = 2, => C = 2 - 2A.

Подставляем C в третье уравнение:

9A - 2(2 - 2A) = 1, => 9A - 4 + 4A = 1, => 13A = 5, => A = 5/13.

Теперь находим B и C:

B = -5/13, C = 2 - 2(5/13) = 26/13 - 10/13 = 16/13.

Теперь подставим найденные значения A, B и C в разложение:

(2x + 1) / ((x - 2)(x^2 + 9)) = 5/13 / (x - 2) + (-5/13)x / (x^2 + 9) + (16/13) / (x^2 + 9).

Теперь можем интегрировать каждую часть отдельно:

∫ (5/13) / (x - 2) dx = (5/13) ln|x - 2| + C1,

∫ (-5/13)x / (x^2 + 9) dx = (-5/26) ln|x^2 + 9| + C2,

∫ (16/13) / (x^2 + 9) dx = (16/39) arctan(x/3) + C3.

Итак, итоговый ответ будет:

∫ (2x + 1) / ((x - 2)(x^2 + 9)) dx = (5/13) ln|x - 2| - (5/26) ln|x^2 + 9| + (16/39) arctan(x/3) + C.

Таким образом, мы решили обе задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!