Помогите, пожалуйста, решить уравнение y' = y sin(5x).

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения уравнение решение y' y sin(5x) математика 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение y' = y sin(5x), мы будем использовать метод разделения переменных. Давайте рассмотрим шаги решения.

1. Запишем уравнение в виде, удобном для разделения переменных:

Мы можем переписать уравнение следующим образом:

y' = y sin(5x)

или

dy/dx = y sin(5x).

2. Разделим переменные:

Мы можем разделить переменные, переместив все члены, содержащие y, на одну сторону, а все члены, содержащие x, на другую:

dy/y = sin(5x) dx.

3. Интегрируем обе стороны:

Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения:

∫(1/y) dy = ∫sin(5x) dx.

Интеграл левой стороны:

ln|y| + C1, где C1 - произвольная константа.

Интеграл правой стороны:

-1/5 * cos(5x) + C2, где C2 - другая произвольная константа.

4. Запишем результат интегрирования:

Теперь у нас есть:

ln|y| = -1/5 * cos(5x) + C, где C = C2 - C1 является новой произвольной константой.

5. Возводим в степень для избавления от логарифма:

Мы можем избавиться от логарифма, возведя обе стороны в степень:

|y| = e^(-1/5 * cos(5x) + C) = e^C * e^(-1/5 * cos(5x)).

Обозначим e^C как K (где K > 0), тогда:

|y| = K * e^(-1/5 * cos(5x)).

6. Учитываем знак y:

Таким образом, мы можем записать общее решение:

y = ±K * e^(-1/5 * cos(5x)).

Итак, общее решение уравнения y' = y sin(5x) выглядит как:

y = C * e^(-1/5 * cos(5x)), где C - произвольная константа (может быть положительной или отрицательной).